J Simplicity 干渉と回折

Chapter6 干渉と回折

6.1 重ね合わせの原理

2つの波動が衝突する場合，どのような現象が起こるのでしょうか？実際にウェーブマシンという波動を作る簡単な装置を使って試してみると，図のような結果になることが確かめられます．図の青色で示されている2つのパルス波を衝突させるのですが，それぞれの変位を $\psi_{1}(t,x)$ と $\psi_{2}(t,x)$ とします．緑色で示されている波動が，衝突した際にできる波形であり，合成波といいます．そして，その変位を $\psi(t,x)$ と表します．

重ね合わせの原理

Figure6.1: 重ね合わせの原理

このとき，

$\displaystyle \psi(t,x)=\psi_{1}(t,x)+\psi_{2}(t,x)$

という関係が成立することが観測されます．この関係を重ね合わせの原理といいます．また，衝突した後は，元の波動が何事もなかったかのように素通りしていくことが観測されます．このことを波動の独立性といいます．以上の重ね合わせの原理および波動の独立性は，ウェーブマシンを使った初等的な実験事実であると理解できます．

　重ね合わせの原理に関して，前のChapterの3次元波動方程式，

$\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}=\nabla^{2}\psi(t,\vec{x})$

(6.1)

を使って議論を深めていきましょう．ここで，3次元波動方程式において， $\psi(t,\vec{x})$ は変位だけに留まらず，波動一般量を表すものであったことに注意します．重ね合わせの原理は変位だけでなく，波動が運ぶ一般量について成立することを併せて議論するのです．実際に行うことは，

	$\displaystyle \psi_{1}(t,\vec{x})$
	$\displaystyle \psi_{2}(t,\vec{x})$

が，(6.1)式のそれぞれの解であるとき， $c_{1},c_{2}$ を実定数であるとして，

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=c_{1}\psi_{1}(t,\vec{x})+c_{2}\psi_{2}(t,\vec{x})$

が，やはり解であることを証明するのです．このことは(6.1)式の微分方程式の線形性を利用して，次のように実行できます．

$\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$	$\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}(c_{1}\psi_{1}(t,\vec{x})+c_{2}\psi_{2}(t,\vec{x}))}{\partial t^{2}}$
	$\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}(c_{1}\dfrac{\partial^{2}\psi_{1}(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}+c_{2}\dfrac{\partial^{2}\psi_{2}(t,\vec{x})}{\partial t^{2}})$
	$\displaystyle =c_{1}\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi_{1}(t,\vec{x})}{\pa... ...}}+c_{2}\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi_{2}(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$
	$\displaystyle =c_{1}\nabla^{2}\psi_{1}(t,\vec{x})+c_{2}\nabla^{2}\psi_{2}(t,\vec{x})$
	$\displaystyle =\nabla^{2}(c_{1}\psi_{1}(t,\vec{x})+c_{2}\psi_{2}(t,\vec{x}))$
	$\displaystyle =\nabla^{2}\psi(t,\vec{x})$

（証明終．）さらに，波動の数を個にして，各波動一般量に実定数を掛けた量についても同様な関係が成立することが，次のように数学的に証明されます．つまり，

$\displaystyle \psi_{1}$	$\displaystyle (t,\vec{x})$
	$\displaystyle \vdots$
$\displaystyle \psi_{N}$	$\displaystyle (t,\vec{x})$

が，(6.1)式のそれぞれの解であるとき， $c_{1},\cdots,c_{N}$ を実定数であるとして，

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\psi_{i}(t,\vec{x})=c_{1}\psi_{1}(t,\vec{x})+\cdots+c_{N}\psi_{N}(t,\vec{x})$

も，やはり解であることが，次のように示されます．

$\displaystyle \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$	$\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}(c_{1}\psi_{1}(t,\vec{x})+\cdots+c_{N}\psi_{N}(t,\vec{x}))}{\partial t^{2}}$
	$\displaystyle =\dfrac{1}{v^{2}}(c_{1}\dfrac{\partial^{2}\psi_{1}(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}+\cdots+c_{N}\dfrac{\partial^{2}\psi_{N}(t,\vec{x})}{\partial t^{2}})$
	$\displaystyle =c_{1}\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi_{1}(t,\vec{x})}{\pa... ...ts+c_{N}\dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}\psi_{N}(t,\vec{x})}{\partial t^{2}}$
	$\displaystyle =c_{1}\nabla^{2}\psi_{1}(t,\vec{x})+\cdots+c_{N}\nabla^{2}\psi_{N}(t,\vec{x})$
	$\displaystyle =\nabla^{2}(c_{1}\psi_{1}(t,\vec{x})+\cdots+c_{N}\psi_{N}(t,\vec{x}))$
	$\displaystyle =\nabla^{2}\psi(t,\vec{x})$

（証明終．）次の拡張した重ね合わせの原理が成立することが確かめられました．すなわち，

原理6.1(重ね合わせの原理) "複数の波動一般量が波動方程式を満たすとき，それらの波動一般量に実定数をかけて加え合わせた量も，波動方程式の解になります．"

が成り立ちます．以下のSectionで，重ね合わせの原理を使って説明される波動独特の現象に関して，見ていくことにしましょう．（主に，2つの波動についての狭義の重ね合わせの原理を使っていくことになります．）

6.2 定常波

振幅・波長・周期の等しい，2つの正弦波が逆向きに進みながら重なり合う場合を考えましょう．図にその様子を示しました．黒い実線の波動が右向きへ，黒い破線の波動が左向きに進んでいます．そして，それらの合成波は青い実線で表しています．また， $\frac{T}{8}[s]$ 毎の様子を示しました．この図からわかるように，合成波は右にも左にも進みません．このように，振動するが進まない波動を定常波といいます．それに対して，もとの波動のように進む波を進行波といいます．定常波において，最も振動する点を腹，全く振動しない点を節といいます．また，図のように定常波の腹2つ分で波長 $\lambda[m]$ を定義すると，それはもとの進行波の波長に等しくなります．さらに，図を見るとわかるように，媒質が1振動するのに要する時間（定常波の周期）は，もとの進行波の周期に等しくなっています．

　定常波について，数式を用いて取り扱ってみましょう．振幅・波長・周期が等しく，軸上をお互いに逆向きに進む2つの正弦波を，

$\displaystyle \psi_{1}(t,x)$	$\displaystyle =A\sin⁡(\omega t-kx)$
$\displaystyle \psi_{2}(t,x)$	$\displaystyle =A\sin⁡(\omega t+kx+\theta_{0})$

と表しておきます． $\psi_{1}(t,x)$ は正の方向へ進む正弦波， $\psi_{2}(t,x)$ は負の方向へ進む正弦波です．時刻で原点の位相，すなわち初期位相を， $\psi_{1}(t,x)$ では， $\psi_{2}(t,x)$ では $\theta_{0}[rad]$ とおきます．重ね合わせの原理より，合成波の一般物理量 $\psi(t,x)$ は次のように計算されます．

$\displaystyle \psi(t,x)$	$\displaystyle =\psi_{1}(t,x)+\psi_{2}(t,x)$
	$\displaystyle =A\sin⁡(\omega t-kx)+A\sin⁡(\omega t+kx+\theta_{0})$
	$\displaystyle =2A\sin\{\dfrac{(\omega t-kx)+(\omega t+kx+\theta_{0})}{2}\}\cos\{\dfrac{(\omega t-kx)-(\omega t+kx+\theta_{0})}{2}\}$
	$\displaystyle =2A\sin(\omega t+\dfrac{\theta_{0}}{2})\cos(-kx-\dfrac{\theta_{0}}{2})$
	$\displaystyle =2A\cos(kx+\dfrac{\theta_{0}}{2})\cdot\sin(\omega t+\dfrac{\theta_{0}}{2})$

上式によれば， $\psi(t,x)$ の変化は各点の場所によって決まる振幅，

$\displaystyle 2A\cos(kx+\dfrac{\theta_{0}}{2})$

をもった調和振動となり，その角振動数は全ての場所で同一です．したがって，空間的な波形は進みません．また，振幅をとおいて，

	$\displaystyle 2A\cos⁡(kx+\dfrac{\theta_{0}}{2})=0$
$% latex2html id marker 1906 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle kx+\dfrac{\theta_{0}}{2}=n\pi+\dfrac{\pi}{2}\,(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

の点では全く振動しません．（この位置は節になります．）逆に，振幅が最大となるのは，

	$\displaystyle 2A\cos(kx+\dfrac{\theta_{0}}{2})=\pm2A$
$% latex2html id marker 1909 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \cos(kx+\dfrac{\theta_{0}}{2})=\pm1$
$% latex2html id marker 1911 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle kx+\dfrac{\theta_{0}}{2}=n\pi\,(n=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

の点です．（この位置は腹になります．）

6.3 干渉

2次元平面上で同位相の2つの波源 $S_{1}$ と $S_{2}$ から球面波の連続波を発生させた場合を考えましょう． $S_{1}$ と $S_{2}$ が山の瞬間，重ね合わせの原理に従い，どのような様子になるかを描いたのが図 "干渉" です．（波動の減衰は無視しています．）

Figure6.3: 干渉

例えば，図の点の場合， $S_{1}$ からの波動は山， $S_{2}$ からの波動も山であり，重ね合わせの原理より，大きな山ができて強めあいます．このとき，波源からの距離の差の絶対値（経路差）を計算すると次のようになります．

$\displaystyle \vert S_{1}P-S_{2}P\vert=\vert 2\lambda-\lambda\vert=\lambda$

一般に，経路差が波長の整数倍のとき強め合います．すなわち，強め合う点が満たす条件は，

$\displaystyle \vert S_{1}P-S_{2}P\vert=m\lambda\,(m=0,1,2,\cdots)$

すなわち，

$\displaystyle r_{1}-r_{2}=m\lambda\,(m=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

(6.2)

です．ただし， $S_{1}P\equiv r_{1},S_{2}P\equiv r_{2}$ とおきました．一方，図の点の場合， $S_{1}$ からの波動は山， $S_{2}$ からの波動は谷であり，重ね合わせの原理より弱め合い，ほとんど振動しません．このとき，波源からの距離の差の絶対値（経路差）を計算すると次のようになります．

$\displaystyle \vert S_{1}Q-S_{2}Q\vert=\vert\lambda-\dfrac{3}{2}\lambda\vert=\dfrac{1}{2}\lambda$

一般に，経路差が波長の整数倍から半波長ずれたとき弱め合います．すなわち，弱め合う点が満たす条件は，

$\displaystyle \vert S_{1}Q-S_{2}Q\vert=m'\lambda+\dfrac{\lambda}{2}\,(m'=0,1,2,\cdots)$

すなわち，

$\displaystyle r_{1}-r_{2}=m'\lambda+\dfrac{\lambda}{2}\,(m'=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

(6.3)

です．ただし， $S_{1}Q\equiv r_{1},S_{2}Q\equiv r_{2}$ とおきました．このように，2つの波動が強め合ったり，弱め合ったりする現象を干渉といいます．なお，線分 $S_{1}S_{2}$ 上は，振幅・波長・周期の等しい2つの正弦波が衝突するので，定常波ができています．図の青い実線は強め合う線ですが，この線上には外向きの進行波ができていて，元の球面波よりも速く進むことが図より理解されます．

　図では $S_{1}$ と $S_{2}$ が山の瞬間の場合を描きましたが，半周期後は $S_{1},S_{2}$ ともに谷になっていて，(6.2)式と(6.3)式の条件式はそのまま成立しています．一般に， $S_{1}$ と $S_{2}$ が同位相の場合，その位相を $\theta(t)[rad]$ とおき，(6.2)式と(6.3)式の条件式が確かに成立することを確認しましょう．点における $S_{1}$ からの波動の位相を $\theta_{R1}(t)[rad]$ ，点における $S_{2}$ からの波動の位相を $\theta_{R2}(t)[rad]$ とします．距離1波長につき，位相は $2\pi[rad]$ 遅れるので，次式が成立します．

$\displaystyle \theta_{R1}$	$\displaystyle =\theta(t)-2\pi\dfrac{S_{1}R}{\lambda}$
$\displaystyle \theta_{R2}$	$\displaystyle =\theta(t)-2\pi\dfrac{S_{2}R}{\lambda}$

が強め合う点の場合， $\theta_{P1}(t)[rad]$ と $\theta_{P2}(t)[rad]$ の位相が揃っているので，位相差は $2\pi[rad]$ の整数倍です．故に，

	$\displaystyle \vert\theta_{P1}(t)-\theta_{P2}(t)\vert=2\pi m\,(m=0,1,2,\cdots)$
$% latex2html id marker 2001 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \vert\{\theta(t)-2\pi\dfrac{S_{1}P}{\lambda}\}-\{\theta(t)-2\pi\dfrac{S_{2}P}{\lambda}\}\vert=2\pi m$
$% latex2html id marker 2003 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{2\pi}{\lambda}\vert-S_{1}P+S_{2}P\vert=2\pi m$
$% latex2html id marker 2005 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \vert S_{1}P-S_{2}P\vert=m\lambda\,(m=0,1,2,\cdots)$
$% latex2html id marker 2007 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle r_{1}-r_{2}=m\lambda\,(m=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

となり，前述した条件式(6.2)式が導出されました．一方，が弱め合う点の場合， $\theta_{Q1}(t)[rad]$ と $\theta_{Q2}(t)[rad]$ の位相が反対なので，位相差は $2\pi[rad]$ の整数倍から $\pi[rad]$ ずれています．故に，

	$\displaystyle \vert\theta_{Q1}(t)-\theta_{Q2}(t)\vert=2\pi m'+\pi\,(m'=0,1,2,\cdots)$
$% latex2html id marker 2022 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \vert\{\theta(t)-2\pi\dfrac{S_{1}Q}{\lambda}\}-\{\theta(t)-2\pi\dfrac{S_{2}Q}{\lambda}\}\vert=2\pi m'+\pi$
$% latex2html id marker 2024 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{2\pi}{\lambda}\vert-S_{1}Q+S_{2}Q\vert=2\pi m'+\pi$
$% latex2html id marker 2026 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \vert S_{1}Q-S_{2}Q\vert=m'\lambda+\dfrac{\lambda}{2}\,(m=0,1,2,\cdots)$
$% latex2html id marker 2028 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle r_{1}-r_{2}=m'\lambda+\dfrac{\lambda}{2}\,(m'=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

となります．やはり，前述と同じ条件式(6.3)式が導かれました．

　それでは，同位相の2つの波源からの振幅・波長・周期の等しい3次元球面波の干渉を，正弦波の波動一般量 $\psi(t,r)$ の表式を使って扱ってみましょう．3次元球面波の波動方程式の解は，"波動方程式" のChapterの最後の議論により，

$\displaystyle \psi(t,r)=\dfrac{1}{r}f_{1}(t-\dfrac{r}{v})+\dfrac{1}{r}f_{2}(t+\dfrac{r}{v})$

です．は波源からの距離です．ここでは，外向きの減衰する正弦波を考えて，右辺第1項の解のみを取り上げることにします．平面上のある点に対して， $S_{1}$ からの波動の一般量 $\psi_{1}(t,r_{1})$ と， $S_{2}$ からの波動の一般量 $\psi_{2}(t,r_{2})$ は次のように表されます．

$\displaystyle \psi_{1}(t,r_{1})$	$\displaystyle =\dfrac{A}{r_{1}}\sin⁡(\omega t-kr_{1})$
$\displaystyle \psi_{2}(t,r_{2})$	$\displaystyle =\dfrac{A}{r_{2}}\sin⁡(\omega t-kr_{2})$

ただし，は定数です．点における2つの球面波が重ね合わされた波動一般量 $\psi(t,r_{1},r_{2})$ は，重ね合わせの原理より次のように計算されます．

$\displaystyle \psi(t,r_{1},r_{2})$	$\displaystyle =\psi(t,r_{1})+\psi(t,r_{2})$
	$\displaystyle =\dfrac{A}{r_{1}}\sin⁡(\omega t-kr_{1})+\dfrac{A}{r_{2}}\sin⁡(\omega t-kr_{2})$
	$\displaystyle =\dfrac{A}{r_{1}}(\sin\omega t\cos kr_{1}-\cos\omega t\sin⁡ kr_{1})+\dfrac{A}{r_{2}}(\sin\omega t\cos kr_{2}-\cos\omega t\sin⁡ kr_{2})$
	$\displaystyle =(\dfrac{A}{r_{1}}\cos kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\cos kr_{2})\sin\omega t-(\dfrac{A}{r_{1}}\sin kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\sin⁡ kr_{2})\cos\omega t$

ここで，次のようにおきます．

	$\displaystyle \dfrac{A}{r_{1}}\cos⁡ kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\cos kr_{2}=A'(r_{1},r_{2})\sin\delta$
	$\displaystyle \dfrac{A}{r_{1}}\sin kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\sin kr_{2}=A'(r_{1},r_{2})\cos\delta$

このとき，

$\displaystyle \psi(t,r_{1},r_{2})$	$\displaystyle =A'(r_{1},r_{2})(\sin\delta\sin⁡\omega t-\cos\delta\cos\omega t)$
	$\displaystyle =-A'(r_{1},r_{2})\cos(\omega t+\delta)$

であり， $A'(r_{1},r_{2})[m]$ は次のように計算されます．

	$\displaystyle A'^{2}(r_{1},r_{2})\sin^{2}\delta+A'^{2}(r_{1},r_{2})\cos^{2}\del... ...}\cos kr_{2})^{2}+(\dfrac{A}{r_{1}}\sin kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\sin kr_{2})^{2}$
$% latex2html id marker 2069 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle A'^{2}(r_{1},r_{2})=(\dfrac{A}{r_{1}})^{2}(\sin^{2}kr_{1}+\cos^{2... ..._{2})+2\dfrac{A^{2}}{r_{1}r_{2}}(\cos kr_{1}\cos kr_{2}+\sin kr_{1}\sin kr_{2})$
$% latex2html id marker 2071 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle A'^{2}(r_{1},r_{2})=(\dfrac{A}{r_{1}})^{2}+(\dfrac{A}{r_{2}})^{2}+2\dfrac{A^{2}}{r_{1}r_{2}}\cos⁡ k(r_{1}-r_{2})$

故に，

$\displaystyle A'(r_{1},r_{2})=\{(\dfrac{A}{r_{1}})^{2}+(\dfrac{A}{r_{2}})^{2}+2\dfrac{A^{2}}{r_{1}r_{2}}\cos ⁡k(r_{1}-r_{2})\}^{\frac{1}{2}}$

(6.4)

となります．また， $\delta[rad]$ は次のように表されます．

	$\displaystyle \dfrac{A'(r_{1},r_{2})\sin\delta}{A'(r_{1},r_{2})\cos\delta}=\dfr... ...{A}{r_{2}}\cos kr_{2}}{\dfrac{A}{r_{1}}\sin kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\sin kr_{2}}$
$% latex2html id marker 2078 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \tan\delta=\dfrac{\dfrac{A}{r_{1}}\cos kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\cos⁡ kr_{2}}{\dfrac{A}{r_{1}}\sin kr_{1}+\dfrac{A}{r_{2}}\sin kr_{2}}$

(6.4)式からわかるように，強め合う条件式(6.2)式は次のように導出されます．

	$\displaystyle \cos⁡ k(r_{1}-r_{2})=1$
$% latex2html id marker 2081 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{2\pi}{\lambda}(r_{1}-r_{2})=2\pi m\,(m=0,\pm1,\pm2,\cdots)$
$% latex2html id marker 2083 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle r_{1}-r_{2}=m\lambda\,(m=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

一方，弱め合う条件式(6.3)式は，次のように導出されます．

	$\displaystyle \cos ⁡k(r_{1}-r_{2} )=-1$
$% latex2html id marker 2086 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{2\pi}{\lambda}(r_{1}-r_{2})=2\pi m'+\pi\,(m'=0,\pm1,\pm2,\cdots)$
$% latex2html id marker 2088 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle r_{1}-r_{2}=m'\lambda+\dfrac{\lambda}{2}\,(m'=0,\pm1,\pm2,\cdots)$

以上の条件は，前述したものと一致することが確認されます．

6.4 回折

波動の進路にその波動を伝えない障害物による隙間がある場合，その障害物の背後に波動が回り込む現象を回折といいます．回折は隙間や障害物の幅に対して波長が小さいとき顕著には起こりませんが，同程度以上になると目立つようになります．

6.5 波束

振幅が同じで，波数，角振動数が少し違う，同じ向きに進む1次元の2つの正弦波があるときに起こる現象について考えましょう．2つの正弦波は次式で表されます．

$\displaystyle \psi_{1}(t,x)$	$\displaystyle =A\sin(\omega_{1}t-k_{1}x+\theta_{1})$
$\displaystyle \psi_{2}(t,x)$	$\displaystyle =A\sin(\omega_{2}t-k_{2}x+\theta_{2})$

重ね合わせの原理により，合成波の波動一般量 $\psi(t,x)$ は次のようになります．

$\displaystyle \psi(t,x)$	$\displaystyle =\psi_{1}(t,x)+\psi_{2}(t,x)$
	$\displaystyle =A\{\sin(\omega_{1}t-k_{1}x+\theta_{1})+\sin(\omega_{2}t-k_{2}x+\theta_{2})\}$
	$\displaystyle =2A\sin\dfrac{(\omega_{1}t-k_{1}x+\theta_{1})+(\omega_{2}t-k_{2}x... ...}\cos\dfrac{(\omega_{1}t-k_{1}x+\theta_{1})-(\omega_{2}t-k_{2}x+\theta_{2})}{2}$
	$\displaystyle =2A\cos\{\dfrac{1}{2}(\omega_{1}-\omega_{2})t-\dfrac{1}{2}(k_{1}-... ...}+\omega_{2})t-\dfrac{1}{2}(k_{1}+k_{2})x+\dfrac{1}{2}(\theta_{1}+\theta_{2})\}$

ここで，

	$\displaystyle \Delta\omega\equiv\dfrac{1}{2}(\omega_{1}-\omega_{2})$
	$\displaystyle \Delta k\equiv\dfrac{1}{2}(k_{1}-k_{2})$
	$\displaystyle \Delta\theta\equiv\dfrac{1}{2}(\theta_{1}-\theta_{2})$

と，

	$\displaystyle \omega\equiv\dfrac{1}{2}(\omega_{1}+\omega_{2})$
	$\displaystyle k\equiv\dfrac{1}{2}(k_{1}+k_{2})$
	$\displaystyle \theta\equiv\dfrac{1}{2}(\theta_{1}+\theta_{2})$

とおくと，

$\displaystyle \psi(t,x)=2A\cos(\dfrac{1}{2}\Delta\omega\cdot t-\dfrac{1}{2}\Delta k\cdot x+\dfrac{1}{2}\Delta\theta)\sin(\omega t-kx+\theta)$

となります．このとき，

$\displaystyle A(t,x)\equiv2A\cos(\dfrac{1}{2}\Delta\omega\cdot t-\dfrac{1}{2}\Delta k\cdot x+\dfrac{1}{2}\Delta\theta)$

という因子は，

$\displaystyle \xi(t,x)\equiv\sin(\omega t-kx+\theta)$

と比較して，に対する変化の割合が緩やかですから，ある瞬間に空間的な波動の形を表すと図のようになります．

Figure6.4: 波束

正弦波 $\xi(t,x)$ の振幅がのように変化しているように見えます．（図では青い破線で表されています．）このような波動のかたまりを波束といいます．一般に，正弦波の速さは， $v=\frac{\omega}{k}$ なので，波束の速さ（これを群速度といいます．） $v_{g}[m/s]$ は，

$\displaystyle v_{g}$	$\displaystyle =\dfrac{\dfrac{1}{2}\Delta\omega}{\dfrac{1}{2}\Delta k}$
	$\displaystyle =\dfrac{\Delta\omega}{\Delta k}$

です．ここで無限小の極限をとると，群速度は，

$\displaystyle v_{g}=\dfrac{d\omega}{dk}$

となります．群速度に対して，波面の速度 $v=\frac{\omega}{k}$ を位相速度といいます．

6.6 波動のフーリエ解析

"振動" のChapterにおいて，フーリエ解析を取り扱いました．このSectionでは波動のフーリエ解析を見ていくことにしましょう．まず，フーリエ解析の数学的な一般論を整理しておきます．周期の関数をフーリエ級数で展開すると，

$\displaystyle f(x)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos⁡\dfrac{n\pi x}{L}+b_{n}\sin\dfrac{n\pi x}{L})$

となります．このとき，フーリエ係数は，

$\displaystyle a_{n}$	$\displaystyle =\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}dx\,(n=0,1,2,\cdots)$
$\displaystyle b_{n}$	$\displaystyle =\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L}dx\,(n=1,2,\cdots)$

です．周期の複素フーリエ級数は，

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\exp(i\dfrac{n\pi x}{L})$

で，複素フーリエ係数は，

$\displaystyle c_{n}=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\exp(-i\dfrac{n\pi x}{L})dx\,(n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots)$

です．"振動" のChapterでは，これらを振動について適用しましたが，数学的な変数を振動の時間に，数学的な周期を振動の周期に，数学的な関数を振動一般量 $\psi(t)$ に置き換えました．その結果は，

	$\displaystyle \psi(t)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos⁡ n\omega t+b_{n}\sin ⁡n\omega t)$
	$\displaystyle a_{n}=\dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\psi(t)\cos ⁡n\omega t\cdot dt\,(n=0,1,2,\cdots)$
	$\displaystyle b_{n}=\dfrac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\psi(t)\sin⁡ n\omega t\cdot dt\,(n=1,2,\cdot)$
	$\displaystyle \psi(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{in\omega t}$
	$\displaystyle c_{n}=\dfrac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\psi(t)e^{-in\omega t}dt\,(n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots)$

となりました．波動について，フーリエ級数，複素フーリエ級数はどのようになるのでしょうか？ 1次元空間における波動一般量 $\psi(t,x)$ の場合，変数として，時間と位置を含みます．ある位置に着目して，振動の時間的変化を考える場合については，上記の振動についての取り扱いになります．それに対して，時間を止めて，位置についての変化を考えてみましょう．例えば，複素数で表される正の方向に伝わる正弦波の場合，

$\displaystyle \psi(t,x)$	$\displaystyle =A e^{i(\omega t-kx)}$
	$\displaystyle =e^{i\omega t}\cdot A e^{-ikx}$

ですから，時間を固定したとき，空間的に変動する部分は，

$\displaystyle \phi(x)=A e^{-ikx}$

になります．以降，一般的な $\phi(x)$ について考えていきます．数学的な変数を位置を表すに，数学的な周期を空間的な周期である波長 $\lambda[m]$ に置き換えます．さらに，数学的な関数を，波動一般量 $\psi(t,x)$ の空間部分 $\phi(x)$ と同定します．このとき， $\phi(x)$ をフーリエ級数で表すと，

$\displaystyle \phi(x)$	$\displaystyle =\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\dfrac{n\pi x}{\lambda/2}+b_{n}\sin\dfrac{n\pi x}{\lambda/2})$
	$\displaystyle =\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos n\dfrac{2\pi}{\lambda}x+b_{n}\sin n\dfrac{2\pi}{\lambda}x)$
	$\displaystyle =\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos⁡ nkx+b_{n}\sin nkx)$

とすることができます．ただし，は波数です．任意の波形が，

$\displaystyle k,2k,3k,\cdots$

の波数をもつ余弦関数と正弦関数の和によって表されるのです．フーリエ係数は，

	$\displaystyle a_{n}=\dfrac{1}{\lambda/2}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\phi(x)\cos\dfrac{n\pi x}{\lambda/2}dx$
$% latex2html id marker 2212 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle a_{n}=\dfrac{2}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\phi(x)\cos nkx\cdot dx\,(n=0,1,2,\cdots)$
	$\displaystyle b_{n}=\dfrac{1}{\lambda/2}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\phi(x)\sin⁡\dfrac{n\pi x}{\lambda/2}dx$
$% latex2html id marker 2215 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle b_{n}=\dfrac{2}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\phi(x)\sin nkx\cdot dx\,(n=1,2,\cdots)$

によって求められます．同様に，複素フーリエ級数を考えましょう．数学的な変数を位置を表すに，数学的な周期を波動の空間的な周期である波長 $\lambda[m]$ に置き換えます．さらに，数学的な関数を $\phi(x)$ と同定します．このとき，複素フーリエ級数は，

$\displaystyle \phi(x)$	$\displaystyle =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\exp(i\dfrac{n\pi x}{\lambda/2})$
	$\displaystyle =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\exp(in\dfrac{2\pi}{\lambda}x)$
	$\displaystyle =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inkx}$

とすることができます．複素フーリエ係数は，

	$\displaystyle c_{n}=\dfrac{1}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\phi(x)\exp(-i\dfrac{n\pi x}{\lambda/2})dx$
$% latex2html id marker 2234 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle c_{n}=\dfrac{1}{\lambda}\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\phi(x)e^{-inkx}dx\,(n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots)$

です．

　さらに，フーリエ変換とフーリエ逆変換を取り扱ってみます．数学的一般論では，フーリエ変換は，

$\displaystyle g(k)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

で，逆フーリエ変換は，

$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{ikx}dk$

でした．振動の場合を振り返ってみると，これらの式に出てくるのところに角振動数 $\omega[rad/s]$ が入り，変数を時間に置き換えました．さらに，関数を振動一般量 $\psi(t)$ に同定しました．このとき，フーリエ変換は，

$\displaystyle g(\omega)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)e^{-i\omega t}dt$

となります．すなわち， $\psi(t)$ を角振動数 $\omega[rad/s]$ の重みの分布 $g(\omega)$ で表しています．一方，フーリエ逆変換の式は，

$\displaystyle \psi(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

となります．この式は，調和振動子の振動 $e^{i\omega t}$ に角振動数 $\omega[rad/s]$ のときの重み $g(\omega)$ をかけて重ね合わせて， $\psi(t)$ に戻したものです．それでは，波動一般量 $\psi(t,x)$ の空間部分 $\phi(x)$ の場合を考えてみましょう．数学的な量であるを，波数で，数学的な変数を位置で置き換え，数学的な関数を $\phi(x)$ と同定し，フーリエ変換を表すと，

$\displaystyle g(k)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)e^{-ikx}dx$

となります．すなわち， $\phi(x)$ を波数の重みで表しています．一方，フーリエ逆変換の式は，

$\displaystyle \phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{ikx}dk$

となります．この式は， $e^{ikx}$ に波数のときの重みをかけて重ね合わせて， $\phi(x)$ に戻したものです．フーリエ変換とフーリエ逆変換を3次元に拡張することもできました．数学的には3次元フーリエ変換は，

$\displaystyle g(\vec{k})=\dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^{3}}}\int_{-\infty}^{\infty}\in... ...infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(\vec{x})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}dxdydz$

であり，3次元フーリエ逆変換は，

$\displaystyle f(\vec{x})=\dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^{3}}}\int_{-\infty}^{\infty}\in... ...fty}\int_{-\infty}^{\infty}g(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}dk_{x}dk_{y}dk_{z}$

でした．3次元の波動一般量 $\psi(t,\vec{x})$ の空間部分 $\phi(\vec{x})$ についてフーリエ変換とフーリエ逆変換を考えましょう．（ $\phi(\vec{x})$ の例を挙げておきます．例えば，複素数で表される正の方向に伝わる正弦波の場合，

$\displaystyle \psi(t,\vec{x})$	$\displaystyle =A e^{i(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{x})}$
	$\displaystyle =e^{i\omega t}\cdot A e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}$

ですから，時間を固定したとき，空間的に変動する部分は，

$\displaystyle \phi(x)=A e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}$

となります．以下は一般的な $\phi(\vec{x})$ についての議論です．）数学的な量 $\vec{k}\,$ を波数ベクトル $\vec{k}[rad/m]$ で，数学的な変数 $\vec{x}\,$ を位置ベクトル $\vec{x}[m]$ で置き換え，数学的な関数 $f(\vec{x})$ を $\phi(\vec{x})$ と同定し，3次元フーリエ変換を表すと，

$\displaystyle g(\vec{k})=\dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^{3}}}\int_{-\infty}^{\infty}\in... ...ty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(\vec{x})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}dxdydz$

となります．一方，3次元フーリエ逆変換の式は，

$\displaystyle \phi(\vec{x})=\dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^{3}}}\int_{-\infty}^{\infty}... ...fty}\int_{-\infty}^{\infty}g(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}}dk_{x}dk_{y}dk_{z}$

となります．