J Simplicity 角運動量

運動方程式の第3の変形を試みます．軸を中心に平面上を半径で接線方向に運動量の大きさ $p[kg\cdot m/s]$ の円運動している物体を考えます．

角運動量原理1

Figure6.1: 角運動量原理1

大きさの力が円の接線方向に加わっている場合，円の接線方向について，次の運動方程式が成立します．

$\displaystyle \dfrac{dp}{dt}=F$

この方程式は大きさの関係を表しています．両辺を倍すると次のようになります．

	$\displaystyle r\dfrac{dp}{dt}=rF$
$% latex2html id marker 553 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{d(rp)}{dt}=rF$

ここで，軸回りの角運動量 $L_{z}[kg\cdot m^{2}/s]$ と軸回りのモーメント $N_{z}[N\cdot m]$ を次のように定義します．

$\displaystyle L_{z}$	$\displaystyle \equiv rp$
$\displaystyle N_{z}$	$\displaystyle \equiv rF$

（ここでも理論の展開の中で物理量が定義されることに注意しましょう．）ここで，角運動量は物体の回転運動を表す物理量であり，モーメントは力の回転の能率を表す物理量です．このとき，上の式は，

$\displaystyle \dfrac{dL_{z}}{dt}=N_{z}$

と表されることになります．すなわち，

　"角運動量の時間微分はモーメントに等しくなります．"

という関係が成立します．これを角運動量原理といいます．

　次に，平面上の一般の運動を考えましょう．運動方程式は，

$\displaystyle \dfrac{dp_{x}}{dt}$	$\displaystyle =F_{x}$	(6.1)
$\displaystyle \dfrac{dp_{y}}{dt}$	$\displaystyle =F_{y}$	(6.2)

です．ただし，添え字のとはそれぞれの方向の成分を示します．ここで， ×(6.2)式- ×(6.1)式をつくると次のようになります．

$\displaystyle x\dfrac{dp_{y}}{dt}-y\dfrac{dp_{x}}{dt}=xF_{y}-yF_{x}$

ここで，

$\displaystyle \dfrac{dx}{dt}p_{y}=\dfrac{dy}{dt}p_{x}=mv_{x}v_{y}$

が成立するので，

	$\displaystyle (\dfrac{dx}{dt}p_{y}+x\dfrac{dp_{y}}{dt})-(\dfrac{dy}{dt}p_{x}+y\dfrac{dp_{x}}{dt})=xF_{y}-yF_{x}$
$% latex2html id marker 588 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{d}{dt}(xp_{y}-yp_{x})=xF_{y}-yF_{x}$
$% latex2html id marker 590 $\displaystyle \therefore$$	$\displaystyle \dfrac{d}{dt}(\vec{x}\times\vec{p})_{z}=(\vec{x}\times\vec{F})_{z}$

となります．ただし，最後の式の中の記号 $\times$ はベクトル積を表します．

角運動量原理2

Figure6.2: 角運動量原理2

ここで，軸回りの角運動量 $L_{z}[kg\cdot m^{2}/s]$ と軸回りのモーメント $N_{z}[N\cdot m]$ を次のように定義します．

$\displaystyle L_{z}$	$\displaystyle \equiv(\vec{x}\times\vec{p})_{z}$
$\displaystyle N_{z}$	$\displaystyle \equiv(\vec{x}\times\vec{F})_{z}$

（ここでも理論の展開の中で，物理量が定義されていることに注意して下さい．） $L_{z}[kg\cdot m^{2}/s]$ と $N_{z}[N\cdot m]$ は，それぞれベクトル積で表されているので，その大きさは次式で示されます．（図を参照して下さい．）

$\displaystyle \vert L_{z}\vert$	$\displaystyle =\vert\vec{x}\vert\vert\vec{p}\vert\sin\theta$
$\displaystyle \vert N_{z}\vert$	$\displaystyle =\vert\vec{x}\vert\vec{F}\vert\sin\phi$

このとき，

$\displaystyle \dfrac{dL_{z}}{dt}=N_{z}$

が成り立つことになります．すなわち，平面上の運動についても，

　"角運動量の時間微分はモーメントに等しくなります．"

という関係が成立します．

　更に，一般の3次元空間上の運動について，運動方程式を変形し，同じ関係が成立することを見ておきましょう．運動方程式は次式です．

$\displaystyle \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}$

$d\vec{p}[kg\cdot m/s]$ と $\vec{F}[N]$ は同一方向ですが，その向きは任意である場合を考えています．この運動方程式の両辺に，左から位置ベクトル $\vec{x}[m]$ をかけてベクトル積をとります．

$\displaystyle \vec{x}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{x}\times\vec{F}$

ここで，

$\displaystyle \dfrac{d}{dt}(\vec{x}\times\vec{p})$	$\displaystyle =\dfrac{d\vec{x}}{dt}\times\vec{p}+\vec{x}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}$
	$\displaystyle =\vec{x}\times\vec{F}$