Chapter3 静電位

3.1 静電位

普通，高いとか低いとかいう概念は重力が働いている場合に使います．物体は重力を受けて，自然に高いところから低いところへ移動します．もし，重力が働かない無重力状態にいれば，高低の概念は成立しないことになります．（宇宙空間にいると想像して下さい．どちらが上なのかわからないでしょう．）通常，高さは地面からの距離で測りますが，その代わりにポテンシャル $ mgh[J]$ を用いても表すことができます．つまり，$ mgh[J]$ が大きい程高いということになります．特に，質量 $ m[kg]$ の重みを除いた $ gh[m^{2}/s^{2}]$ の部分が高さを表していると考えることができます．

　この高いとか低いとかいう概念を，クーロン力が働く場合にも考えてみましょう．例えば，2枚の極板を用意して，それぞれ正と負に帯電させて一様な静電場をつくります．その中に正電荷 $ q[C]$ を置くと，$ q[C]$ は一様な静電場から力 $ qE[N]$ を受けて自然に移動します．このとき，高いところから低いところへ移動したと考えるのです．ここで，高低を重力の場合と同じように，ポテンシャルをもちいて表すことにしましょう．（クーロン力は保存力であり，ポテンシャルを考えることができます．）負の極板は最も低いところであるので，これをアースして基準 $ O$ とし，その高さを $ 0[J]$ とします．

静電位1

Figure3.1: 静電位1

はじめの静電荷 $ q[C]$ の位置を $ A$（座標 $ z$）として，ポテンシャル $ V[J]$ を計算します．（静電荷 $ q[C]$ が $ A$ から $ O$ まで移動するとき，保存力であるクーロン力がする仕事がポテンシャルです．）

$\displaystyle V(\vec{x})$ $\displaystyle =\int_{A}^{O}\{0\cdot dx+0\cdot dy+(-qE)dz\}$    
  $\displaystyle =\int_{z}^{0}(-qE)dz$    
  $\displaystyle =qEz$    

これが，一様な静電場の場合のポテンシャルの式です．ここで，一様な重力が働く場合と同じように，この式を $ q[C]$ の重みと高さを表す量 $ \phi(z)[V]$ に分解します．（ $ V(z)=q\phi(z)$．）このとき，高さを表す $ \phi(z)[V]$ を静電位と言います．ここで，

$\displaystyle V(z)=q\times Ez$

より，一様な静電場の静電位 $ \phi(z)[V]$ は，

$\displaystyle \phi(z)=Ez$

になります．静電位 $ \phi$ の単位は $ [V]=[J/C]$ です．また，静電場 $ E[N/C]$ の単位は関係式 $ \phi(z)=Ez$ より，$ [V/m]$ と表すこともできます．

　次に点電荷の周りの静電位について考えてみます．正の点電荷 $ Q[C]$ の周りには静電場が生じています．その静電場の中に正の静電荷 $ q[C]$ を置くと，クーロン力を受け，自然と2つの間の距離が広がるように移動します．このとき，静電荷 $ q[C]$ は高いところから低いところへ動いたと考えます．すなわち，点電荷 $ Q[C]$ に近い方が高く，遠い方が低いということになります．この高低をポテンシャルで表しましょう．万有引力の場合と同じように，次の計算を行います．

$\displaystyle V(A)-V(\infty)$ $\displaystyle =W'_{A\to\infty}$    
  $\displaystyle =\int_{A}^{\infty}(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{qQ}{r^{2}})dr$    
  $\displaystyle =\dfrac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}[-\dfrac{1}{r}]_{A}^{\infty}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{qQ}{r_{A}}$    

ここで，無限遠をポテンシャルの基準として， $ V(\infty)=0[J]$ としています．また，点電荷 $ Q[C]$ から $ A$ までの距離 $ r_{A}[m]$ を，任意の距離として $ r[m]$ とおき直すと，ポテンシャルは次式になります．

$\displaystyle V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{qQ}{r}$

この式を，$ q[C]$ の重みと，残りの高さを表す量，すなわち静電位 $ \phi(r)[V]$ に分解します．（ $ V(r)=q\phi(r)$．）ここで，

$\displaystyle V(r)=q\times\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{Q}{r}$

より，静電位 $ \phi(r)[V]$ は次式になります．

$\displaystyle \phi(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\dfrac{Q}{r}$

この式は，点電荷 $ Q[C]$ が負の場合も自動的に含んでいます．静電位 $ \phi(r)[V]$ と距離 $ r[m]$ の関係をグラフに描くと図 "静電位2" のようになります．

 

3.2 電位差と仕事の関係

静電場のなかでクーロン力と外力がつりあいながら，ゆっくりと動く場合，外力がする仕事 $ W[J]$ を求めます．図 "電位差と仕事" は理解を助けるために載せましたが，いまから議論することは一様な静電場とは限らず，一般的な静電場についても言えることです．"静電荷を１から２までゆっくりと移動させたとき外力がする仕事の大きさ $ W[J]$" は，"静電荷をOから2までゆっくりと移動させたとき外力がする仕事" から，"静電荷を $ O$ から1までゆっくりと移動させたとき外力がする仕事" を引いたものです．したがって，その値は次のように計算できます．

$\displaystyle W$ $\displaystyle =V_{2}-V_{1}$    
  $\displaystyle =q\phi_{2}-q\phi_{1}$    
  $\displaystyle =q(\phi_{2}-\phi_{1})$    
  $\displaystyle =q\phi_{12}$    

ただし，

$\displaystyle \phi_{12}\equiv\phi_{2}-\phi_{1}$

とおきました．ここで， $ \phi_{12}[V]$ は電位差といい，その名の通り静電位の差を表します．電位差を求めるときは，高い静電位から低い静電位を引き，必ず正にします．

電位差と仕事

Figure3.3: 電位差と仕事

このとき，クーロン力のする仕事 $ W'[J]$ は，

$\displaystyle W'=-q\phi_{12}$

です．負の静電荷を運ぶ場合も含めてまとめておきましょう．外力がする仕事 $ W[J]$ は，

$\displaystyle W=\pm\vert q\vert\phi_{12}$

です．ここで，正の静電荷を低いところから高いところへ外力が持ち上げたときは正の符号をとり，負の静電荷を高いところから低いところへ外力が持ち上げたときも正の符号をとります．クーロン力がする仕事 $ W'[J]$ についても，まとまておきます．

$\displaystyle W'=\mp\vert q\vert\phi_{12}$

ここで，正の静電荷を低いところから高いところに外力が持ち上げたときは負の符号をとり，負の静電荷を高いところから低いところへ外力が持ち上げたときも負の符号をとります．

 

3.3 静電場と電位差の関係

静電荷・静電場・静電位の関係をまとめておきます．静電荷が存在すれば，その周りに静電場が生じます．静電場が生じると高低の違いが生じ，静電位の概念が生まれてきます．逆に，静電位に差があれば，静電場が存在する筈であり，静電場があるということは，静電場を発生させる静電荷が存在するということになります．このように，この3つの概念は密接な関係を持っています．（ただし，電荷が無くても変動する電場と磁場は存在することができます．）

　静電位の差のことを電位差といいました．静電位は基準をもつ絶対的な物理量ですが，電位差は相対的な物理量であるということができます．静電位 $ \phi_{1}[V]$ と静電位 $ \phi_{2}[V]$ の電位差 $ \phi_{12}[V]$ は，次のように表せます．ただし， $ \phi_{1}[V]<\phi_{2}[V]$ とします．

$\displaystyle \phi_{12}=\phi_{2}-\phi_{1}$

電位差を求めるときは，高い静電位から低い静電位を引き，常に正の値をとるようにします．ここで，一様な静電場の場合についての電位差を考えましょう．

静電場と電位差

Figure3.4: 静電場と電位差

$\displaystyle \phi_{12}$ $\displaystyle =\phi_{2}(z)-\phi_{1}(z)$    
  $\displaystyle =Ez_{2}-Ez_{1}$    
  $\displaystyle =E(z_{2}-z_{1})$    
% latex2html id marker 1313 $\displaystyle \therefore\phi_{12}$ $\displaystyle =Ed$    

この式の意味は静電場が存在すれば電位差が生じるということです．あるいは，書き直して，

$\displaystyle E=\dfrac{\phi_{12}}{d}$

となります．この式の意味は，電位差のあるところには静電場が存在しているということです．一様な静電場の場合，静電場と電位差の関係を斜面にたとえることができます．図のグラフをそのまま斜面と見なすのです．縦軸は静電位 $ \phi(z)[V]$ になっていますが，これは電気的な意味での高さになります．斜面の傾きが静電場であり，斜面の高さの差が電位差に相当するということです．

　ここで，一般的に静電場と電位差の関係を導いておきましょう．クーロン力は保存力です．保存力であるクーロン力 $ F'[N]$ を，静電位 $ \phi[V]$ で表します．以下の証明で使う文字を挙げておきますが，$ W'[J]$ は保存力であるクーロン力のする仕事，$ A$ ははじめの位置，$ B$ は終りの位置，$ O$ は基準の位置です．

$\displaystyle W'_{A\to B}$ $\displaystyle =W'_{A\to O\to B}$    
  $\displaystyle =W'_{A\to O}+W'_{O\to B}$    
  $\displaystyle =W'_{A\to O}-W'_{B\to O}$    
  $\displaystyle =V(A)-V(B)$    

故に，

$\displaystyle \int_{A}^{B}\vec{F'}(\vec{x})\cdot d\vec{x}$ $\displaystyle =-\int_{A}^{B}dV$    
  $\displaystyle =-\int_{A}^{B}(\dfrac{\partial V}{\partial x}dx+\dfrac{\partial V}{\partial y}dy+\dfrac{\partial V}{\partial z}dz)$    
% latex2html id marker 1339 $\displaystyle \therefore\int_{A}^{B}\vec{F'}(\vec{x})\cdot d\vec{x}\,$ $\displaystyle =\int_{A}^{B}\{-\nabla V(\vec{x})\}\cdot d\vec{x}$    

となります．被積分関数が等しくなりますので，

$\displaystyle \vec{F'}(\vec{x})=-\nabla V(\vec{x})$

が成り立ちます．故に，

$\displaystyle q\vec{E}(\vec{x})=-\nabla\{q\phi(\vec{x})\}$

さらに，

$\displaystyle \vec{E}(\vec{x})=-\nabla\phi(\vec{x})$ (3.1)

が成立します．この(3.1)式が静電場と静電位の一般的な関係を表します．ただし，右辺の記号ナブラは，

$\displaystyle \nabla\equiv(\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})$

で定義されます．

 

3.4 ポアソン方程式とラプラス方程式

静電場と静電位の関係を導きましたので，次に静電荷と静電位の関係を考えます．"静電場（ガウスの法則）" のChapterのガウスの法則（微分形），

$\displaystyle \nabla\cdot\vec{E}(\vec{x})=\dfrac{\rho(\vec{x})}{\varepsilon_{0}}$

に，(3.1)式，

$\displaystyle \vec{E}(\vec{x})=-\nabla\phi(\vec{x})$

を代入します．

$\displaystyle \nabla\cdot\{-\nabla\phi(\vec{x})\}=\dfrac{\rho(\vec{x})}{\varepsilon_{0}}$

したがって，

$\displaystyle \Delta\phi(\vec{x})=-\dfrac{\rho(\vec{x})}{\varepsilon_{0}}$ (3.2)

が成立します．(3.2)式をポアソン方程式といいます．ただし，左辺の記号，

$\displaystyle \Delta\equiv\nabla\cdot\nabla=\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$

はラプラシアンと言います．また，電荷密度 $ \rho[C/m^{3}]$ が $ 0[C/m^{3}]$ の場合は，

$\displaystyle \Delta\phi(\vec{x})=0$ (3.3)

が成立します．この式をラプラス方程式といいます．

　ポアソン方程式または，ラプラス方程式を解き，電位 $ \phi(\vec{x})[V]$ を求めて，その $ \phi(\vec{x})[V]$ を静電場と静電位の関係(3.1)式に代入すれば，静電場 $ E(\vec{x})[N/C]$ を得ることができます．

 

3.5 電気双極子

正負等量の静電荷が極めて短い距離を隔てて存在するとき，これをひとまとめにして電気双極子といいます．図のような電気双極子を考えます．$ A$ に $ +q[C]$，$ B$ に $ -q[C]$ の静電荷があり，$ AB$ の中心を $ O$ とします．$ AB$ 間の距離は $ \ell[m]$ とします．$ O$ から角度 $ \theta[rad]$ だけ傾き，距離 $ r[m]$ 離れた点 $ P$ における静電位を求めます．$ r\gg\ell$ の場合を考えると，$ AP$ と $ OP$ と $ BP$ は平行と近似できるので，

$\displaystyle AP$ $\displaystyle \cong r-\dfrac{\ell}{2}\cos\theta$    
$\displaystyle BP$ $\displaystyle \cong r+\dfrac{\ell}{2}\cos\theta$    

です．無限遠の静電位を $ 0[V]$ とする基準で，静電位を表す式は，

$\displaystyle \phi(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{Q}{r}$

なので，この電気双極子による $ P$ における静電位は，次のように計算していきます．

$\displaystyle \phi(r,\theta)$ $\displaystyle =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{q}{r-\dfrac{\ell}{2}\c... ...eta}+\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{-q}{r+\dfrac{\ell}{2}\cos\theta}$    
  $\displaystyle =\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}(\dfrac{1}{r-\dfrac{\ell}{2}\cos\theta}-\dfrac{1}{r+\dfrac{\ell}{2}\cos\theta})$    
  $\displaystyle =\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}(\dfrac{1}{1-\dfrac{\ell}{2r}\cos\theta}-\dfrac{1}{1+\dfrac{\ell}{2r}\cos\theta})$    
  $\displaystyle \cong\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\{(1+\dfrac{\ell}{2r}\cos\theta)-(1-\dfrac{\ell}{2r}\cos\theta)\}$    
  $\displaystyle =\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\dfrac{\ell}{r}\cos\theta$    

したがって，

$\displaystyle \phi(r,\theta)=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{\cos\theta}{r^{2}}$ (3.4)

となります．ただし，

$\displaystyle p\equiv q\ell$

とおきました．大きさを $ p[C\cdot m]$，向きを負電荷から正電荷に向かう方向としたベクトルを電気双極子モーメント $ \vec{p}[C\cdot m]$ と言います．

　静電位がわかったので，次に点 $ P$ における静電場を，(3.1)式より $ r[m]$ と $ \theta[rad]$ の方向に分けて求めます．ここで，点 $ P$ の座標を $ (x,y)$ としておくと，

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\cos\theta$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin\theta$    

ですが，このとき，

  $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$    
  $\displaystyle \tan\theta=\dfrac{y}{x}$    

が成立します．したがって，

$\displaystyle \dfrac{\partial r}{\partial x}$ $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\dfrac{2x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{x}{r}$    
  $\displaystyle =\dfrac{r\cos\theta}{r}$    
  $\displaystyle =\cos\theta$    
$\displaystyle \dfrac{\partial r}{\partial y}$ $\displaystyle =\dfrac{1}{2}\dfrac{2y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{y}{r}$    
  $\displaystyle =\dfrac{r\sin\theta}{r}$    
  $\displaystyle =\sin\theta$    

となります．また，

$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{y}{x}$

を $ x$ と $ y$ でそれぞれ偏微分して計算します．

  $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}\dfrac{\partial\theta}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^{2}}$    
% latex2html id marker 1466 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial\theta}{\partial x}=-\cos^{2}\theta\dfrac{r\sin\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta}$    
% latex2html id marker 1468 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial\theta}{\partial x}=-\dfrac{\sin\theta}{r}$    
  $\displaystyle \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}\dfrac{\partial\theta}{\partial y}=\dfrac{1}{x}$    
% latex2html id marker 1471 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial\theta}{\partial y}=\cos^{2}\theta\dfrac{1}{r\cos\theta}$    
% latex2html id marker 1473 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \dfrac{\partial\theta}{\partial y}=\dfrac{\cos\theta}{r}$    

故に，静電場 $ \vec{E}(\vec{x})[N/C]$ は次のようになります．

$\displaystyle \vec{E}(\vec{x})$ $\displaystyle =-\nabla\phi(\vec{x})$    
  $\displaystyle =-\begin{pmatrix} \dfrac{\partial\phi}{\partial x}\\ \dfrac{\partial\phi}{\partial y} \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle =-\begin{pmatrix} \dfrac{\partial r}{\partial x}\dfrac{\partial\... ...{\partial\theta}{\partial y}\dfrac{\partial\phi}{\partial\theta} \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle =-\begin{pmatrix} \cos\theta\dfrac{\partial\phi}{\partial r}-\df... ...ial r}+\dfrac{\cos\theta}{r}\dfrac{\partial\phi}{\partial\theta} \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle =\begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta \end{pmatrix}(-\dfrac{... ... \cos\theta \end{pmatrix}(-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\phi}{\partial\theta})$    

ここで， $ \begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}$ は $ r$ 方向の単位ベクトル， $ \begin{pmatrix}-\sin\theta\\ \cos\theta\end{pmatrix}$ は $ \theta$ 方向の単位ベクトルなので，$ P$ 点における静電場の $ r$ 方向と $ \theta$ 方向の成分は，次式のようになります．

$\displaystyle E_{r}$ $\displaystyle =-\dfrac{\partial\phi}{\partial r}=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{2\cos\theta}{r^{3}}$    
$\displaystyle E_{\theta}$ $\displaystyle =-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\phi}{\partial\theta}=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{\sin\theta}{r^{3}}$    

電気双極子による静電位は，(3.4)式より，スカラー積を使うと次のように書き直すことができます．

$\displaystyle \phi(\vec{x})=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{x}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$

（ただし，$ \vec{x}\,$ は電気双極子の中心 $ O$ から点 $ P$ への位置ベクトルであり， $ \vert\vec{x}\vert=r$ です．）したがって，その静電場の $ x$ 成分は次のように計算されます．

$\displaystyle E_{x}(\vec{x})$ $\displaystyle =-\dfrac{\partial\phi}{\partial x}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\{\dfrac{\partial(\vec{p}\cdot\ve... ...1}{r^{3}}+(\vec{p}\cdot\vec{x})\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{1}{r^{3}})\}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\{\dfrac{p_{x}}{r^{3}}+(\vec{p}\cdot\vec{x})(-3)\dfrac{1}{r^{4}}\dfrac{1}{2}\dfrac{2x}{r}\}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\{p_{x}-\dfrac{3(\vec{p}\cdot\vec{x})x}{r^{2}}\}$    

$ y$ 成分と $ z$ 成分も同様です．故に，静電場は，

$\displaystyle \vec{E}(\vec{x})=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\{\vec{p}-\dfrac{3(\vec{p}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}\}$

とも表せます．