J Simplicity 場の古典論

J Simplicity

Part1 古典場と自由量子場

Chapter1 場の古典論

1.1 自然単位系と特殊相対論的Notation

素粒子論で使用する単位系は，

$\displaystyle \hbar=c=1$

とする自然単位系を採用します．言うまでもなく， $\hbar$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの，は光速です．

　場の量子論は，特殊相対性理論と量子力学を融合し，場という概念を推し進めた理論ですが，ここで，特殊相対性理論の表記についてまとめておきます．まず，計量テンソルは，

$\displaystyle \eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}$

とします．また，ギリシア文字は $\mu=0,1,2,3$ のようにとります．第0成分は時間成分，第1,2,3成分は空間成分です．座標ベクトルは，反変ベクトルが，

$\displaystyle x^{\mu}$	$\displaystyle =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$
	$\displaystyle =(t,x,y,z)$
	$\displaystyle =(t,\bm{x})$

であり，共変ベクトルが，

$\displaystyle x_{\mu}$	$\displaystyle =\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$
	$\displaystyle =(x^{0},-x^{1},-x^{2},-x^{3})$
	$\displaystyle =(t,-x,-y,-z)$
	$\displaystyle =(t,-\bm{x})$

です．4元ベクトルとしては，

$\displaystyle p^{\mu}$	$\displaystyle =(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})$
	$\displaystyle =(E,p_{x},p_{y},p_{z})$
	$\displaystyle =(\omega,k_{x},k_{y},k_{z})$

や，

$\displaystyle p_{\mu}$	$\displaystyle =\eta_{\mu\nu}p^{\nu}$
	$\displaystyle =(p^{0},-p^{1},-p^{2},-p^{3})$
	$\displaystyle =(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z})$
	$\displaystyle =(\omega,-k_{x},-k_{y},-k_{z})$

も挙げられます．2式とも最後の式変形には， $\hbar=1$ としたアインシュタイン-ド・ブロイの関係式を使っています．また，上下に同じギリシア文字が対になって現れる場合，0,1,2,3について和をとるというアインシュタインの規約を使います．アインシュタインの規約を使って，インターバルの2乗は，

$\displaystyle s^{2}\equiv\eta_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}$

と定義されます．ローレンツ変換，

$\displaystyle x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$

のもとで，インターバルの2乗は，

$\displaystyle s'^{2}$	$\displaystyle =\eta_{\mu\nu}x'^{\mu}x'^{\nu}$
	$\displaystyle =\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}$

と変換しますが，インターバルの2乗はスカラー，すなわちローレンツ不変量なので，

$\displaystyle s'^{2}=s^{2}$

ですから，

$\displaystyle \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}=\eta_{\rho\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}$

すなわち，

$\displaystyle \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}=\eta_{\rho\sigma}$

が成立します．最後の式を満たす変換をローレンツ変換と定義することができます．縮約をとったスカラー，すなわちローレンツ不変量の例としては，インターバルの2乗の他に，

$\displaystyle px$	$\displaystyle =p^{\mu}x_{\mu}$
	$\displaystyle =Et+\bm{p}\cdot(-\bm{x})$
	$\displaystyle =Et-\bm{p}\cdot\bm{x}$
	$\displaystyle =\omega t-\bm{k}\cdot\bm{x}$

や，

$\displaystyle p^{2}$	$\displaystyle =p^{\mu}p_{\mu}$
	$\displaystyle =E\cdot E+\bm{p}(-\bm{p})$
	$\displaystyle =E^{2}-\vert\bm{p}\vert^{2}$
	$\displaystyle =\omega^{2}-\vert\bm{k}\vert^{2}=m^{2}$

等があります．また，微分演算子として，

$\displaystyle \partial_{\mu}$	$\displaystyle \equiv\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}}$
	$\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial x^{0}},\dfrac{\partial}{\partial x^{1}},\dfrac{\partial}{\partial x^{2}},\dfrac{\partial}{\partial x^{3}})$
	$\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})$
	$\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},\bm{\nabla})$

と，

$\displaystyle \partial^{\mu}$	$\displaystyle \equiv\dfrac{\partial}{\partial x_{\mu}}$
	$\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial x^{0}},-\dfrac{\partial}{\partial x^{1}},-\dfrac{\partial}{\partial x^{2}},-\dfrac{\partial}{\partial x^{3}})$
	$\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},-\dfrac{\partial}{\partial x},-\dfrac{\partial}{\partial y},-\dfrac{\partial}{\partial z})$
	$\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},-\bm{\nabla})$

があります．縮約をとると，

$\displaystyle \partial_{\mu} \partial^{\mu}$	$\displaystyle =\dfrac{\partial}{\partial t}\dfrac{\partial}{\partial t}+\bm{\nabla}\cdot(-\bm{\nabla})$
	$\displaystyle =\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\bm{\nabla}^{2}$

となります．

1.2 Lagrangian形式

場という量を一般的に，

$\displaystyle \phi(x)$

と表しておきます．ここで，は時間1次元と空間3次元をまとめて表しています．

$\displaystyle x\equiv x^{\mu}=(t,\bm{x})$

つまり，場という量は空間の関数になっていて，それが時間的に変動するものであると考えることができます．

　場をLagrangian形式の解析力学で取り扱ってみましょう．まず，今後よく使う積分の表記方法を定義しておきます．空間3次元の積分として，

$\displaystyle \int d^{3}x\equiv\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\i... ...{3}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdydz$

を使います．積分範囲が $-\infty$ から $\infty$ になっているのは，量子力学の場合と同様に，一般に量子は全空間に存在する確率があるためです．（このChapterは古典論についてですが，後のChapterを考慮して，このように定義しておきます．）4次元時空の積分は，

$\displaystyle \int d^{4}x\equiv\int_{t_{i}}^{t_{f}}dx^{0}\int_{-\infty}^{\infty... ...}}dt\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdydz$

とします．ここで，時間は $t_{i}$ から始まり， $t_{f}$ で終わるとしています．Lagrangian をLagrangian密度 $\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$ で表す場合，空間3次元について積分して，

$\displaystyle L=\int d^{3}x\cdot\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$

となります．さらに，Lagrangian を時間で積分した量を作用といいます．

$\displaystyle S$	$\displaystyle \equiv\int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\cdot L$
	$\displaystyle =\int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\int d^{3}x\cdot\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$
	$\displaystyle =\int d^{4}x\cdot\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$

　ここで，ある領域 $\Omega$ に対して，場 $\phi(x)$ を，

$\displaystyle \phi(x)\rightarrow\phi(x)+\delta\phi(x)$

となるように変化させます．（量子論では領域の空間部分は全空間になります．この場合も，以下の議論はそのまま成立します．）ただし，領域の境界で，

$\displaystyle \delta\phi(x)=0\,(Boundary)$

が成立するものとします．場 $\phi(x)$ が上述のように変わるとき，作用は，

$\displaystyle S\rightarrow S+\delta S$

と表記されますが，

$\displaystyle \delta S=0$

となることを自然は要求します．言い直すと，作用を最小にするように自然はできているのです．この原理を最小作用の原理と言います．左辺を次のように計算します．

$\displaystyle \delta S=\int d^{4}x\{\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\d... ...{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\delta(\partial_{\mu}\phi)\}$

ここで，

$\displaystyle \delta(\partial_{\mu}\phi(x))$	$\displaystyle =\partial_{\mu}\phi'(x)-\partial_{\mu}\phi(x)$
	$\displaystyle =\partial_{\mu}(\phi'(x)-\phi(x))$
	$\displaystyle =\partial_{\mu}(\delta\phi(x))$

ですから，

$\displaystyle \delta S=\int d^{4}x\{\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\d... ...{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)\}$

となります．この式の右辺第2項は，

$\displaystyle \int d^{4}x\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)$	$\displaystyle =\int d^{4}x\{\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\p... ...frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{3}\phi)}\partial_{3}(\delta\phi)\}$
	$\displaystyle =\int d^{4}x\{\partial_{0}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\... ...l_{0}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\phi)})\delta\phi+\cdots$
	$\displaystyle \,\,\,+\partial_{3}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial... ...artial_{3}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{3}\phi)})\delta\phi\}$
	$\displaystyle =\int dx^{1}dx^{2}dx^{3}[\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\phi)}\delta\phi]_{Boundary}+\cdots$
	$\displaystyle \,\,\,+\int dx^{0}dx^{1}dx^{2}[\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\parti... ...tial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\delta\phi$
	$\displaystyle =0-\int d^{4}x\,\partial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\delta\phi$

となります．最後の変形には境界面おいて，

$\displaystyle \delta \phi(x)=0$

であることを使いました．よって，

$\displaystyle \delta S$	$\displaystyle =\int d^{4}x\{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \... ...al_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\delta\phi\}$
	$\displaystyle =\int d^{4}x\{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\}\delta\phi=0$