Part1 古典場と自由量子場

Chapter1 場の古典論

1.1 自然単位系と特殊相対論的Notation

素粒子論で使用する単位系は,

$\displaystyle \hbar=c=1$

とする自然単位系を採用します.言うまでもなく,$ \hbar$ はプランク定数を $ 2\pi$ で割ったもの,$ c$ は光速です.

 場の量子論は,特殊相対性理論と量子力学を融合し,場という概念を推し進めた理論ですが,ここで,特殊相対性理論の表記についてまとめておきます.まず,計量テンソルは,

$\displaystyle \eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0 \\ 0&-1&0&0 \\ 0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-1
\end{pmatrix}$

とします.また,ギリシア文字は $ \mu=0,1,2,3$ のようにとります.第0成分は時間成分,第1,2,3成分は空間成分です.座標ベクトルは,反変ベクトルが,

$\displaystyle x^{\mu}$ $\displaystyle =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})$    
  $\displaystyle =(t,x,y,z)$    
  $\displaystyle =(t,\bm{x})$    

であり,共変ベクトルが,

$\displaystyle x_{\mu}$ $\displaystyle =\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$    
  $\displaystyle =(x^{0},-x^{1},-x^{2},-x^{3})$    
  $\displaystyle =(t,-x,-y,-z)$    
  $\displaystyle =(t,-\bm{x})$    

です.4元ベクトルとしては,

$\displaystyle p^{\mu}$ $\displaystyle =(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})$    
  $\displaystyle =(E,p_{x},p_{y},p_{z})$    
  $\displaystyle =(\omega,k_{x},k_{y},k_{z})$    

や,

$\displaystyle p_{\mu}$ $\displaystyle =\eta_{\mu\nu}p^{\nu}$    
  $\displaystyle =(p^{0},-p^{1},-p^{2},-p^{3})$    
  $\displaystyle =(E,-p_{x},-p_{y},-p_{z})$    
  $\displaystyle =(\omega,-k_{x},-k_{y},-k_{z})$    

も挙げられます.2式とも最後の式変形には,$ \hbar=1$ としたアインシュタイン-ド・ブロイの関係式を使っています.また,上下に同じギリシア文字が対になって現れる場合,0,1,2,3について和をとるというアインシュタインの規約を使います.アインシュタインの規約を使って,インターバルの2乗は,

$\displaystyle s^{2}\equiv\eta_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}$

と定義されます.ローレンツ変換,

$\displaystyle x^{\mu}\rightarrow x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$

のもとで,インターバルの2乗は,

$\displaystyle s'^{2}$ $\displaystyle =\eta_{\mu\nu}x'^{\mu}x'^{\nu}$    
  $\displaystyle =\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}$    

と変換しますが,インターバルの2乗はスカラー,すなわちローレンツ不変量なので,

$\displaystyle s'^{2}=s^{2}$

ですから,

$\displaystyle \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}=\eta_{\rho\sigma}x^{\rho}x^{\sigma}$

すなわち,

$\displaystyle \eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}=\eta_{\rho\sigma}$

が成立します.最後の式を満たす変換をローレンツ変換と定義することができます.縮約をとったスカラー,すなわちローレンツ不変量の例としては,インターバルの2乗の他に,

$\displaystyle px$ $\displaystyle =p^{\mu}x_{\mu}$    
  $\displaystyle =Et+\bm{p}\cdot(-\bm{x})$    
  $\displaystyle =Et-\bm{p}\cdot\bm{x}$    
  $\displaystyle =\omega t-\bm{k}\cdot\bm{x}$    

や,

$\displaystyle p^{2}$ $\displaystyle =p^{\mu}p_{\mu}$    
  $\displaystyle =E\cdot E+\bm{p}(-\bm{p})$    
  $\displaystyle =E^{2}-\vert\bm{p}\vert^{2}$    
  $\displaystyle =\omega^{2}-\vert\bm{k}\vert^{2}=m^{2}$    

等があります.また,微分演算子として,

$\displaystyle \partial_{\mu}$ $\displaystyle \equiv\dfrac{\partial}{\partial x^{\mu}}$    
  $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial x^{0}},\dfrac{\partial}{\partial x^{1}},\dfrac{\partial}{\partial x^{2}},\dfrac{\partial}{\partial x^{3}})$    
  $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},\dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z})$    
  $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},\bm{\nabla})$    

と,

$\displaystyle \partial^{\mu}$ $\displaystyle \equiv\dfrac{\partial}{\partial x_{\mu}}$    
  $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial x^{0}},-\dfrac{\partial}{\partial x^{1}},-\dfrac{\partial}{\partial x^{2}},-\dfrac{\partial}{\partial x^{3}})$    
  $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},-\dfrac{\partial}{\partial x},-\dfrac{\partial}{\partial y},-\dfrac{\partial}{\partial z})$    
  $\displaystyle =(\dfrac{\partial}{\partial t},-\bm{\nabla})$    

があります.縮約をとると,

$\displaystyle \partial_{\mu} \partial^{\mu}$ $\displaystyle =\dfrac{\partial}{\partial t}\dfrac{\partial}{\partial t}+\bm{\nabla}\cdot(-\bm{\nabla})$    
  $\displaystyle =\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\bm{\nabla}^{2}$    

となります.

 

1.2 Lagrangian形式

場という量を一般的に,

$\displaystyle \phi(x)$

と表しておきます.ここで,$ x$ は時間1次元と空間3次元をまとめて表しています.

$\displaystyle x\equiv x^{\mu}=(t,\bm{x})$

つまり,場という量は空間の関数になっていて,それが時間的に変動するものであると考えることができます.

 場をLagrangian形式の解析力学で取り扱ってみましょう.まず,今後よく使う積分の表記方法を定義しておきます.空間3次元の積分として,

$\displaystyle \int d^{3}x\equiv\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\i...
...{3}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdydz$

を使います.積分範囲が $ -\infty$ から $ \infty$ になっているのは,量子力学の場合と同様に,一般に量子は全空間に存在する確率があるためです.(このChapterは古典論についてですが,後のChapterを考慮して,このように定義しておきます.)4次元時空の積分は,

$\displaystyle \int d^{4}x\equiv\int_{t_{i}}^{t_{f}}dx^{0}\int_{-\infty}^{\infty...
...}}dt\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}dxdydz$

とします.ここで,時間は $ t_{i}$ から始まり,$ t_{f}$ で終わるとしています.Lagrangian $ L$ をLagrangian密度 $ \mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$ で表す場合,空間3次元について積分して,

$\displaystyle L=\int d^{3}x\cdot\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$

となります.さらに,Lagrangian $ L$ を時間で積分した量を作用 $ S$ といいます.

$\displaystyle S$ $\displaystyle \equiv\int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\cdot L$    
  $\displaystyle =\int_{t_{i}}^{t_{f}}dt\int d^{3}x\cdot\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$    
  $\displaystyle =\int d^{4}x\cdot\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$    

 ここで,ある領域 $ \Omega$ に対して,場 $ \phi(x)$ を,

$\displaystyle \phi(x)\rightarrow\phi(x)+\delta\phi(x)$

となるように変化させます.(量子論では領域の空間部分は全空間になります.この場合も,以下の議論はそのまま成立します.)ただし,領域の境界で,

$\displaystyle \delta\phi(x)=0\,(Boundary)$

が成立するものとします.場 $ \phi(x)$ が上述のように変わるとき,作用 $ S$ は,

$\displaystyle S\rightarrow S+\delta S$

と表記されますが,

$\displaystyle \delta S=0$

となることを自然は要求します.言い直すと,作用 $ S$ を最小にするように自然はできているのです.この原理を最小作用の原理と言います.左辺を次のように計算します.

$\displaystyle \delta S=\int d^{4}x\{\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\d...
...{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\delta(\partial_{\mu}\phi)\}$

ここで,

$\displaystyle \delta(\partial_{\mu}\phi(x))$ $\displaystyle =\partial_{\mu}\phi'(x)-\partial_{\mu}\phi(x)$    
  $\displaystyle =\partial_{\mu}(\phi'(x)-\phi(x))$    
  $\displaystyle =\partial_{\mu}(\delta\phi(x))$    

ですから,

$\displaystyle \delta S=\int d^{4}x\{\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\d...
...{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)\}$

となります.この式の右辺第2項は,

$\displaystyle \int d^{4}x\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\partial_{\mu}(\delta\phi)$ $\displaystyle =\int d^{4}x\{\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\p...
...frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{3}\phi)}\partial_{3}(\delta\phi)\}$    
  $\displaystyle =\int d^{4}x\{\partial_{0}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\...
...l_{0}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\phi)})\delta\phi+\cdots$    
  $\displaystyle \,\,\,+\partial_{3}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial...
...artial_{3}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{3}\phi)})\delta\phi\}$    
  $\displaystyle =\int dx^{1}dx^{2}dx^{3}[\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{0}\phi)}\delta\phi]_{Boundary}+\cdots$    
  $\displaystyle \,\,\,+\int dx^{0}dx^{1}dx^{2}[\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\parti...
...tial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\delta\phi$    
  $\displaystyle =0-\int d^{4}x\,\partial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\delta\phi$    

となります.最後の変形には境界面おいて,

$\displaystyle \delta \phi(x)=0$

であることを使いました.よって,

$\displaystyle \delta S$ $\displaystyle =\int d^{4}x\{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \...
...al_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\delta\phi\}$    
  $\displaystyle =\int d^{4}x\{\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})\}\delta\phi=0$    

となります.任意の $ \delta\phi(x)$ について,この式が成立するためには,被積分が 0 にならなければなりません.故に,

$\displaystyle \fbox{$\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_{\mu}(\dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=0$}$ (1.1)

が成立します.この場の方程式をEuler-Lagrange方程式と言います.

 Hamiltonianについても見ておきましょう.通常の解析力学を場について拡張した議論を行います.まず,場の共役運動量密度 $ \pi(x)$ を,

$\displaystyle \pi(x)\equiv\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}(x)}$

で定義します.更に,Hamiltonian密度 $ \mathcal{H}$ を定義します.

$\displaystyle \mathcal{H}\equiv\pi(x)\dot{\phi}(x)-\mathcal{L}(\phi(x),\partial_{\mu}\phi(x))$

このHamiltonian密度 $ \mathcal{H}$ から,Hamiltonian $ H$ が計算されます.

$\displaystyle H=\int d^{3}x\cdot\mathcal{H}$