Chapter9 定常電流の静磁場（ビオ-サバールの法則とアンペールの法則）

9.1 定常電流の静磁場の3つの例

定常電流が流れるとその周りに静磁場が生じます．幾つかの簡単な場合について，それぞれ成立する実験式を見ておきましょう．第一の例として無限に長い直線定常電流 $ I[A]$ のつくる静磁場を挙げます．静磁場は直線定常電流を中心として同心円状をなし，定常電流の進む向きをねじの進む向きにして，右にねじった向きに生じます．（これを右ねじの法則といいます．）そのときの静磁場の強さ $ H(r)[A/m]$ は，

$\displaystyle H(r)=\dfrac{I}{2\pi r}$

で表されます．ただし，$ r[m]$ は直線定常電流からの距離です．

　第二の例として，円形定常電流 $ I[A]$ のつくる静磁場を挙げます．この場合，生じる静磁場は向きも強さも各点で異なっていて複雑です．しかし，円の中心では，静磁場の向きは円を含む面に垂直であり，静磁場の強さ $ H(r)[A/m]$ は，円形定常電流の半径を $ r[m]$ として，

$\displaystyle H(r)=\dfrac{I}{2r}$

と表されます．右手で円形定常電流を握り，中指の向きが定常電流の向きとすると，親指の向きが静磁場の向きになります．

　第三の例として，無限に長いソレノイドコイルに流れる定常電流 $ I[A]$ のつくる静磁場を挙げます．導線を円筒状に密に巻いたソレノイドに定常電流を流したとき，ソレノイドの内部につくる静磁場は，ソレノイドの軸に平行で強さはどこでもほぼ同じになります．このように，各点の静磁場の向きと大きさが等しい静磁場を一様な静磁場といいます．右手でソレノイドを握り，中指の向きが定常電流の向きとすると，親指の向きが静磁場の向きになります．一様な静磁場の強さ $ H[A/m]$ は，ソレノイドの太さに関係なく，

$\displaystyle H=nI$

で表されます．ただし，$ n[1/m]$ は長さ $ 1[m]$ 当たりの導線の巻き数です．

3つの例

Figure9.1: 3つの例

 

9.2 ビオ-サバールの法則

前Sectionで挙げた例の実験式を導出するものとして，一般に，ビオ-サバールの法則というものが成立します．その法則は次式で表されます．

$\displaystyle d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$ (9.1)

ここで， $ Id\vec{s}[A\cdot m]$ は導線を流れる電流の微小な区間のベクトルである電流素片， $ \vec{R}[m]$ は電流素片 $ Id\vec{s}[A\cdot m]$ とある点 $ P$ を結ぶ変位ベクトル（ $ r=\vert\vec{R}\vert[m]$）， $ \vec{x}[m]$ は原点 $ O$ からある点 $ P$ への位置ベクトル， $ \vec{s}[m]$ は原点 $ O$ と電流素片を結ぶ変位ベクトル，そして， $ d\vec{B}[T]$ は電流素片 $ Id\vec{s}[A\cdot m]$ が，ある点 $ P$ につくる磁束密度です． $ \vec{R}[m]$ と $ \vec{x}[m]$ の違いに注意して下さい．位置ベクトル $ \vec{x}[m]$ はビオ-サバールの法則(9.1)式の中には，直接は出てきません．（ $ \vec{R}=\vec{x}-\vec{s}\,$を代入することはできます．）

ビオ-サバールの法則1

Figure9.2: ビオ-サバールの法則1

ここで，ビオ-サバールの法則(9.1)式を導出しておきましょう．図の点 $ P$ に静磁荷 $ q_{m}[Wb]$ を置きます．このとき，この静磁荷が $ d\vec{s}[m]$ の部分につくる静磁場は，

$\displaystyle -\dfrac{q_{m}}{4\pi\mu_{0}}\cdot\dfrac{\vec{R}}{r^{3}}$

となります．このとき，磁束密度は，

$\displaystyle -\dfrac{q_{m}}{4\pi}\cdot\dfrac{\vec{R}}{r^{3}}$

になります．アンペール力の式，（アンペール力については，Chapter "アンペール力とローレンツ力" を見て下さい．）

$\displaystyle d\vec{F}=Id\vec{s}\times\vec{B}$

より，この静磁場のため $ d\vec{s}[m]$ の部分は，

$\displaystyle Id\vec{s}\times(-\dfrac{q_{m}}{4\pi}\cdot\dfrac{\vec{R}}{r^{3}})=-q_{m}\cdot\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

の力を受けます．ここで，作用・反作用の法則より，点 $ P$ にある静磁荷 $ q_{m}[Wb]$ は，

$\displaystyle q_{m}\cdot\dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

の力を受けますが，このことから点 $ P$ に，

$\displaystyle \dfrac{1}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

の静磁場が生じていることがわかります．したがって，点 $ P$ に生じる磁束密度は，

$\displaystyle d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

となります．この式は(9.1)式です．（導出終．）

　ビオ-サバールの法則(9.1)式より，前Sectionの3つの例の静磁場の強さを表す式を導いておきましょう．まず，無限に長い直線電流のつくる静磁場を取り扱います．図のように状況を設定します．$ r[m]$ の定義に注意して下さい．ビオ-サバールの法則(9.1)式の $ r[m]$ に相当するものは，ここでは $ \sqrt{r^{2}+z^{2}}$ になります．

ビオ-サバールの法則2

Figure9.3: ビオ-サバールの法則2

ここで，ビオ-サバールの法則(9.1)式，

$\displaystyle d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

より，電流素片 $ Idz[A\cdot m]$ のつくる点 $ P$ における磁束密度の大きさ $ dB[T]$ は，

$\displaystyle dB$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{Idz\sqrt{r^{2}+z^{2}}\sin\theta}{(r^{2}+z^{2})^{\frac{3}{2}}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi}\cdot\dfrac{\sin\theta\cdot dz}{r^{2}+z^{2}}$    

となります．図より，

  $\displaystyle -z=r\cot\theta$    
  $\displaystyle \sqrt{r^{2}+z^{2}}=\dfrac{r}{\sin\theta}$    

です．故に，

$\displaystyle dz$ $\displaystyle =-r(-\dfrac{1}{\sin^{2}\theta})d\theta$    
  $\displaystyle =\dfrac{rd\theta}{\sin^{2}\theta}$    

ですので，

$\displaystyle dB$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi}\cdot\dfrac{\sin\theta\cdot\dfrac{rd\theta}{\sin^{2}\theta}}{\dfrac{r^{2}}{\sin^{2}\theta}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi r}\sin\theta\cdot d\theta$    

となります．電流は無限に長いので，上式を $ \theta$ について $ 0[rad]$ から $ \pi[rad]$ まで積分して磁束密度の大きさを求めます．

$\displaystyle B(r)$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi r}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cdot d\theta$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}I}{4\pi r}[-\cos\theta]_{0}^{\pi}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$    

よって，

$\displaystyle H(r)=\dfrac{I}{2\pi r}$

が求められました．

　次に，円形電流のつくる静磁場を求めましょう．状況は図の通りです．$ r[m]$ の定義に注意して下さい．ビオ-サバールの法則(9.1)式の $ r[m]$ に相当するものは，ここでは $ \sqrt{d^{2}+r^{2}}$ になります．

ビオ-サバールの法則3

Figure9.4: ビオ-サバールの法則3

円周上の点 $ M$ に電流素片 $ Id\vec{s}[A\cdot m]$ があり，それがつくる微小な磁束密度 $ d\vec{B}[T]$ は $ OP$ と $ OM$ を含む面内にあって，$ PM$ に垂直になっています．この $ d\vec{B}[T]$ を，$ OP$ 方向の成分 $ dB'[T]$ と，$ OM$ に平行な成分に分けて考えます．ここで， $ d\vec{s}[m]$ について積分すると，$ OM$ に平行な成分は合成して $ 0[T]$ になります．したがって， $ d\vec{B}[T]$ を合成したものは，$ dB'[T]$ を加え合わせたものに等しくなります．故に，点 $ P$ の磁束密度 $ \vec{B}[T]$ は $ OP$ の方向で，その大きさはビオ-サバールの法則(9.1)式，

$\displaystyle d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

より，次式のように計算されます．

$\displaystyle B$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{0}^{2\pi r}\dfrac{Ids\sqrt{d^{2}+r^{2}}\sin\dfrac{\pi}{2}}{(d^{2}+r^{2})^{\frac{3}{2}}}\sin\alpha$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{I}{d^{2}+r^{2}}[s]_{0}^{2\pi r}\sin\alpha$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\dfrac{I}{d^{2}+r^{2}}2\pi r\dfrac{r}{\sqrt{d^{2}+r^{2}}}$    

故に，

$\displaystyle B=\dfrac{\mu_{0}I}{2}\cdot\dfrac{r^{2}}{(d^{2}+r^{2})^{\frac{3}{2}}}$ (9.2)

となります．ここで，円の中心の点 $ O$ を考え，$ d=0[m]$ を代入すると，

  $\displaystyle B(r)=\dfrac{\mu_{0}I}{2r}$    
% latex2html id marker 2343 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle H(r)=\dfrac{I}{2r}$    

となり，円形電流の中心での静磁場の大きさを表す式が導出されました．

　例の最後の無限に長いソレノイドコイルの中心軸上の静磁場を求めましょう．まず，ソレノイドコイルの中心軸上に $ z$ 軸をとります．$ dz[m]$ の部分の巻き数は $ ndz$ [回]なので，この部分に流れる電流の強さは $ In\cdot dz[A]$ です．この電流が $ z$ 軸上の点 $ P$ につくる磁束密度は，少し上の(9.2)式より，

$\displaystyle dB=\dfrac{\mu_{0}In\cdot dz}{2}\cdot\dfrac{r^{2}}{(z^{2}+r^{2})^{\frac{3}{2}}}$

これをソレノイドコイル全体にわたって積分すると，

$\displaystyle B=\dfrac{\mu_{0}nIr^{2}}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dz}{(z^{2}+r^{2})^{\frac{3}{2}}}$

ですが，ここで， $ z=r\tan\phi$ と変数変換します．このとき，

$\displaystyle z^{2}+r^{2}$ $\displaystyle =r^{2}(\tan^{2}\phi+1)$    
  $\displaystyle =\dfrac{r^{2}}{\cos^{2}\phi}$    

と，

$\displaystyle dz=\dfrac{rd\phi}{\cos^{2}\phi}$

が成立するので，磁束密度は次のように計算されます．

$\displaystyle B$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}nIr^{2}}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\dfrac{rd\phi}{\cos^{2}\phi}}{\dfrac{r^{3}}{\cos^{3}\phi}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}nI}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos\phi d\phi$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}nI}{2}[\sin\phi]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$    
  $\displaystyle =\mu_{0}nI$    

したがって，中心軸上での静磁場の強さは，

$\displaystyle H=nI$

となることが導出されました．

 

9.3 磁気双極子

"静電位" のChapterの "電気双極子" のSectionの議論を思い出しましょう．電気双極子の中心からの距離 $ r[m]$，なす角 $ \theta[rad]$ の位置における静電位 $ \phi[V]$ は次式で表されました．ただし，2つの静電荷は $ \pm q[C]$，静電荷間の距離は $ \ell[m]$ です．

$\displaystyle \phi(r,\theta)=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{\cos⁡\theta}{r^{2}}\,(p\equiv q\ell)$

ここで，大きさを $ p[C\cdot m]$，向きを負電荷から正電荷に向かう方向としたベクトルを電気双極子モーメント $ \vec{p}[C\cdot m]$ といいました．電位から $ r$ 方向と $ \theta$ 方向の静電場を求めると次のようになりました．

$\displaystyle E_{r}$ $\displaystyle =-\dfrac{\partial\phi}{\partial r}=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{2\cos\theta}{r^{3}}$    
$\displaystyle E_{\theta}$ $\displaystyle =-\dfrac{1}{r}\cdot\dfrac{\partial\phi}{\partial\theta}=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{\sin\theta}{r^{3}}$    

また，電気双極子による静電位は，スカラー積を使うと次のように書き直すことができます．

$\displaystyle \phi(\vec{x})=\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{x}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}$

この式から，静電場は，

$\displaystyle \vec{E}(\vec{x})=-\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\{\vec{p}-\dfrac{3(\vec{p}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}\}$

とも表されます．

　磁気の場合も電気の場合と同様に議論することができます． わずかに離れた正負２つの点状の静磁荷 $ \pm q_{m}[Wb]$ がつくる磁気双極子の磁位は電気双極子の場合と全く同じ計算により，次式のようになります．

$\displaystyle \phi_{m}(r,\theta)=\dfrac{m}{4\pi\mu_{0}}\cdot\dfrac{\cos\theta}{r^{2}}\,(m\equiv q_{m}\ell)$

ここで，大きさを $ m[Wb\cdot m]$，向きを負磁荷から正磁荷に向かう方向としたベクトルを磁気双極子モーメント $ \vec{m}[Wb\cdot m]$ といいます．静磁位から $ r$ 方向と $ \theta$ 方向の静磁場を求めると次のようになります．

$\displaystyle H_{r}$ $\displaystyle =-\dfrac{\partial\phi_{m}}{\partial r}=\dfrac{m}{4\pi\mu_{0}}\cdot\dfrac{2\cos\theta}{r^{3}}$    
$\displaystyle H_{\theta}$ $\displaystyle =-\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\phi_{m}}{\partial\theta}=\dfrac{m}{4\pi\mu_{0}}\cdot\dfrac{\sin\theta}{r^{3}}$    

また，磁気双極子による静磁位は，スカラー積を使うと次のように書き直すことができます．

$\displaystyle \phi_{m}(\vec{x})=\dfrac{\vec{m}\cdot\vec{x}}{4\pi\mu_{0}r^{3}}$

したがって，電気双極子のつくる静電場を表す式と全く同様に，磁気双極子のつくる静磁場は，

$\displaystyle \vec{H}(\vec{x})=-\dfrac{1}{4\pi\mu_{0}r^{3}}\{\vec{m}-\dfrac{3(\vec{m}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}\}$ (9.3)

とも表されます．

　以上の議論は，ペアとなる静磁荷により磁気双極子を形成した場合です．磁気双極子を形成するもう一つの方法として，閉じた定常電流を考えることができます．ここでは特別な例として，一辺の微小な長さ $ a[m]$ の正方形の4辺の上を流れる定常電流を取り扱い，ビオ-サバールの法則(9.1)式，

$\displaystyle d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{Id\vec{s}\times\vec{R}}{r^{3}}$

より，その電流回路がつくる静磁場を求めてみましょう．

磁気双極子2

Figure9.6: 磁気双極子2

図のように正方形の回路を $ ABCD$ とし，辺 $ DA$ と辺 $ AB$ に平行な単位ベクトルを $ \vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\,$ とします．また，正方形の法線ベクトルを $ \vec{n}\,$ とします．各電流素片が点 $ P$ につくる磁束密度は，それぞれ次のようになります．

  $\displaystyle AB:\,\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot a\vec{e}_{2}\times(\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1})}{\vert\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1}\vert^{3}}$    
  $\displaystyle BC:\,\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot(-a\vec{e}_{1})\times(\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{2})}{\vert\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{2}\vert^{3}}$    
  $\displaystyle CD:\,\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot(-a\vec{e}_{2})\times(\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1})}{\vert\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1}\vert^{3}}$    
  $\displaystyle DA:\,\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\dfrac{I\cdot a\vec{e}_{1}\times(\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{2})}{\vert\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{2}\vert^{3}}$    

ここで，$ AB$ について，

$\displaystyle \vert\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1}\vert^{2}$ $\displaystyle =(\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1})\cdot(\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1})$    
  $\displaystyle \cong r^{2}-a(\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})$    

なので（ただし， $ r=\vert\vec{x}\vert$），

$\displaystyle \vert\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1}\vert^{-3}$ $\displaystyle \cong\{r^{2}-a(\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})\}^{-\frac{3}{2}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{1}{r^{3}}\{1-\dfrac{a(\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})}{r^{2}}\}^{-\frac{3}{2}}$    
  $\displaystyle \cong\dfrac{1}{r^{3}}\{1+\dfrac{3a}{2}\dfrac{\vec{x}\cdot\vec{e}_{1}}{r^{2}}\}$    

となります．$ BC,CD,DA$ についても同様です．したがって，各電流素片がつくる磁束密度の和は次のようになります．

$\displaystyle B(\vec{x})$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia}{4\pi}\{\vec{e}_{2}\times(\vec{x}-\dfrac{a}{2}\... ...{e}_{2})\dfrac{1}{r^{3}}(1+\dfrac{3a}{2}\dfrac{\vec{x}\cdot\vec{e}_{2}}{r^{2}})$    
  $\displaystyle \,\,\,-\vec{e}_{2}\times(\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1})\dfrac{1... ...}_{2})\dfrac{1}{r^{3}}(1-\dfrac{3a}{2}\dfrac{\vec{x}\cdot\vec{e}_{2}}{r^{2}})\}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia}{4\pi r^{3}}\{\vec{e}_{2}\times\vec{x}-\dfrac{a... ...{3}{4}(\dfrac{a}{r})^{2}(\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1})(\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})$    
  $\displaystyle \,\,\,-\vec{e}_{1}\times\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1}\times\vec... ...{3}{4}(\dfrac{a}{r})^{2}(\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2})(\vec{x}\cdot\vec{e}_{2})$    
  $\displaystyle \,\,\,-\vec{e}_{2}\times\vec{x}-\dfrac{a}{2}\vec{e}_{2}\times\vec... ...{3}{4}(\dfrac{a}{r})^{2}(\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1})(\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})$    
  $\displaystyle \,\,\,+\vec{e}_{1}\times\vec{x}+\dfrac{a}{2}\vec{e}_{1}\times\vec... ...}{4}(\dfrac{a}{r})^{2}(\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2})(\vec{x}\cdot\vec{e}_{2})\}$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia}{4\pi r^{3}}[a(-\vec{e}_{2}\times\vec{e}_{1}+\v... ...\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})-(\vec{e}_{1}\times\vec{x})(\vec{x}\cdot\vec{e}_{2})\}]$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia^{2}}{4\pi r^{3}}[2\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2}+... ...}(\vec{x}\cdot\vec{e}_{2})+\vec{e}_{2}(\vec{x}\cdot\vec{e}_{1})\}\times\vec{x}]$    

ここで，最後の式の $ \{\,\}$ の中を $ x$ 成分について計算します．

$\displaystyle \{\,\}_{x}$ $\displaystyle =-e_{1x}(e_{2x}x+e_{2y}y+e_{2z}z)+e_{2x}(e_{1x}x+e_{1y}y+e_{1z}z)$    
  $\displaystyle =(e_{1z}e_{2x}-e_{1x}e_{2z})z-(e_{1x}e_{2y}-e_{1y}e_{2x})y$    
  $\displaystyle =(\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2})_{y}z-(\vec{e}_1\times\vec{e}_{2})_{z}y$    
  $\displaystyle =\{(\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2})\times\vec{x}\}_{x}$    

となります．$ y,z$ 成分の同様なので，

$\displaystyle \vec{B}(\vec{x})$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia^{2}}{4\pi r^{3}}[2\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2}+\dfrac{3}{r^{2}}\{(\vec{e}_{1}\times\vec{e}_{2})\times\vec{x}\}\times\vec{x}]$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia^{2}}{4\pi r^{3}}[2\vec{n}+\dfrac{3}{r^{2}}\{(\vec{n}\times\vec{x})\times\vec{x}\}]$    

となります．ここで，最後の式の $ \{\,\}$ の中を $ x$ 成分について計算します．

$\displaystyle \{\,\}_{x}$ $\displaystyle =(\vec{n}\times\vec{x})_{y}z-(\vec{n}\times\vec{x})_{z}y$    
  $\displaystyle =(n_{z}x-n_{x}z)z-(n_{x}y-n_{y}x)y$    
  $\displaystyle =(n_{x}x+n_{y}y+n_{z}z)x-n_{x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$    
  $\displaystyle =\{(\vec{n}\cdot\vec{x})\vec{x}-r^{2}\vec{n}\}_{x}$    

となります．$ y,z$ 成分も同様なので，

$\displaystyle \vec{B}(\vec{x})$ $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia^{2}}{4\pi r^{3}}[2\vec{n}+\dfrac{3}{r^{2}}\{(\vec{n}\cdot\vec{x})\vec{x}-r^{2}\vec{n}\}]$    
  $\displaystyle =\dfrac{\mu_{0}Ia^{2}}{4\pi r^{3}}\{-\vec{n}+\dfrac{3(\vec{n}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}\}$    

となります．ここで，微小な正方形の面積を， $ \Delta S\equiv a^{2}$ とおきます．このとき，

$\displaystyle \vec{B}(\vec{x})=-\dfrac{\mu_{0}I\Delta S}{4\pi r^{3}}\{\vec{n}-\dfrac{3(\vec{n}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}\}$

となります．よって，静磁場は，

$\displaystyle \vec{H}(\vec{x})$ $\displaystyle =-\dfrac{I\Delta S}{4\pi r^{3}}\{\vec{n}-\dfrac{3(\vec{n}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}\}$    
  $\displaystyle =-\dfrac{1}{4\pi\mu_{0}r^{3}}[(\mu_{0}I\cdot\Delta S\cdot\vec{n})-\dfrac{3\{\mu_{0}I\cdot\Delta S(\vec{n}\cdot\vec{x})\}\vec{x}}{r^{2}}]$    

となります．ここで，2つの静磁荷がペアになっている磁気双極子のつくる静磁場の(9.3)式と見比べてみると，磁気双極子モーメントが，

$\displaystyle \vec{m}=\mu_{0}I\cdot\Delta S\cdot\vec{n}$

に相当していることがわかります．つまり，閉じた正方形の電流回路も磁気双極子の役割をしているのです．このときの静磁場は，

$\displaystyle \vec{H}(\vec{x})=-\dfrac{1}{4\pi\mu_{0}r^{3}}[\vec{m}-\dfrac{3(\vec{m}\cdot\vec{x})\vec{x}}{r^{2}}]$

となり，前述の2つの静磁荷がペアになっている磁気双極子の場合の(9.3)式と完全に一致します．したがって，閉じた電流回路も磁気双極子と呼ぶことにします．また，上に述べたのは正方形の閉回路の場合でしたが，円形電流，長方形の電流等，閉回路一般について磁気双極子モーメントの式は成立することがわかっています．

 

9.4 アンペールの法則

定常電流 $ I[A]$ が流れている閉曲線 $ C'$ があるとし，定常電流と静磁場の関係を考えましょう．そのため，$ C'$ を縁とする任意の曲面 $ S'$ をとり，この $ S'$ を網目に分けて，個々の網目にはそれぞれ定常電流 $ I[A]$ が流れていると仮定します．

アンペールの法則1

Figure9.7: アンペールの法則1

隣り合う二つの網目があるとき，その共通部分では，それぞれ逆向きの定常電流が流れているので打ち消し合うことになります．全ての網目で共通部分がないところは縁を流れる定常電流だけであり，この部分の寄与だけが残ります．したがって，閉曲線 $ C'$ を流れる定常電流がつくる静磁場は，個々の網目の定常電流がつくる静磁場の総和に等しくなります．個々の網目の定常電流は前のSectionで述べたような磁気双極子になっています．この網目の定常電流による磁気双極子モーメントは，

$\displaystyle \vec{m}=\mu_{0}I\cdot\Delta S\cdot\vec{n}$

でした．そして，網目の定常電流がつくる静磁位は，

$\displaystyle \Delta\phi_{m}(\vec{x})=\dfrac{1}{4\pi\mu_{0}}\cdot\dfrac{\vec{m}\cdot\vec{x}}{r^{3}}$

に磁気双極子モーメントの式を代入して，

$\displaystyle \Delta\phi_{m}$ $\displaystyle =\dfrac{1}{4\pi\mu_{0}}\cdot\dfrac{\mu_{0}I\cdot\Delta S(\vec{n}\cdot\vec{x})}{r^{3}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{I}{4\pi}\cdot\dfrac{\Delta S\cdot\cos\theta}{r^{2}}$    
  $\displaystyle =\dfrac{I\Delta\omega}{4\pi}$    

となります．ただし，

$\displaystyle \Delta\omega\equiv\dfrac{\Delta S\cdot\cos\theta}{r^{2}}$

は立体角です．通常の角度は半径 $ 1$ の円の円弧の長さで表します．したがって，半径を $ r[m]$，弧の長さを $ s[m]$ としたとき，角 $ \theta[rad]$ は，

$\displaystyle \theta=\dfrac{s}{r}$

になります．立体角とは，半径 $ 1$ の球の球面の一部の面積で表されるものです．半径を $ r[m]$，球面の一部の面積を $ S[m^{2}]$ とすると，立体角 $ \omega[sr]$ （ステラジアン）は，

$\displaystyle \omega=\dfrac{S}{r^{2}}$

です．

　網目の定常電流がつくる回路において，定常電流の向きを右にねじり，ねじの進む向きにある点 $ P$ の立体角の符号を正，反対向きにある点 $ P$ の立体角の符号を負と約束します．"静磁荷・静磁場・静磁位" のChapterで見たように，静磁場と静磁位の間には次の関係が成立します．

$\displaystyle \int_{A}^{B}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=\phi_{m}(A)-\phi_{m}(B)$

したがって，閉回路の定常電流による磁気双極子モーメントがつくる静磁場は次式になります．

$\displaystyle \int_{A}^{B}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}$ $\displaystyle =\dfrac{I\Delta\omega(A)}{4\pi}-\dfrac{I\Delta\omega(B)}{4\pi}$    
  $\displaystyle =\dfrac{I}{4\pi}\{\Delta\omega(A)-\Delta\omega(B)\}$    

ここで，図の3つの場合における定常電流のつくる静磁場を求めてみましょう．

アンペールの法則2

Figure9.8: アンペールの法則2

$ C'$ は定常電流の閉曲線，$ S'$ は $ C'$ が囲む閉曲面，$ C$ は磁場の閉曲面，$ S$ は $ C$ が囲む閉曲面です．(a)図の場合では，$ C$ が $ S'$ を貫通せず，立体角は連続的に変化して，

$\displaystyle \oint_{C}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=0$

となります．左辺の線積分の記号は経路が閉じていることを示す積分記号です．(b)図の場合では，$ C$ が $ S'$ を貫通して始点 $ A$ と終点 $ B$ の間では，特別な状況になっています．（$ A$ と $ B$ の間に $ S'$ があり，$ A$ と $ B$ の間の距離は無限小です．）定常電流の向きを右にねじり，ねじの進む向きにある点 $ P$ の立体角の符号を正，反対向きにある点Pの立体角の符号を負と約束しましたので， $ \Delta\omega(A)$ が正， $ \Delta\omega(B)$ が負で，それぞれ大きさは半径 $ 1$ の半球の面積である $ 2\pi[sr]$ になります．したがって，

$\displaystyle \Delta\omega(A)$ $\displaystyle =2\pi$    
$\displaystyle \Delta\omega(B)$ $\displaystyle =-2\pi$    

なので，

  $\displaystyle \int_{A}^{B}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=\dfrac{I}{4\pi}\{2\pi-(-2\pi)\}$    
% latex2html id marker 2626 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \oint_{C}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=I$    

となります．(c)図の場合では， $ \Delta\omega(A)$ が負， $ \Delta\omega(B)$ が正で，それぞれ大きさは半径 $ 1$ の半球の面積である $ 2\pi[sr]$ になります．したがって，

$\displaystyle \Delta\omega(A)$ $\displaystyle =-2\pi$    
$\displaystyle \Delta\omega(B)$ $\displaystyle =2\pi$    

なので，

  $\displaystyle \int_{A}^{B}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=\dfrac{I}{4\pi}\{(-2\pi)-2\pi\}$    
% latex2html id marker 2641 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle \oint_{C}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=-I$    

となります．一般に，定常電流の向きに右ねじをねじり，ねじの向きに閉曲線 $ C$ がある場合には右辺は正，逆向きの場合には右辺は負になります．複数の定常電流があるときには，

$\displaystyle \oint_{C}\vec{H}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=\sum_{j}I_{j}$

となります．ただし，右辺の定常電流でカウントするのは，閉曲線 $ C$ が定常電流のつくる閉曲面 $ S'$ を貫通するときのみとし，定常電流の向きに右ねじをねじり，ねじの向きに閉曲線 $ C$ がある場合には定常電流の前の符号を正，逆向きの場合には定常電流の前の符号を負とします．磁束密度に関しては，

$\displaystyle \oint_{C}\vec{B}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=\mu_{0}\sum_{j}I_{j}$ (9.4)

となります．この関係をアンペールの法則といいます．

　"ビオ-サバールの法則" のSectionにおいて，3つの例について定常電流のつくる静磁場を表す式を導きましたが，ここでは，アンペールの法則(9.4)式を用いて，無限に長い直線電流のつくる磁場を表す式と，ソレノイドコイルの電流のつくる磁場を表す式を再度導出しておきましょう．まず，無限に長い直線電流のつくる磁場を求めます．ビオ-サバールの法則より，磁束密度は円の接線方向であることがわかります．ここで，アンペールの法則(9.4)式を使うと，

  $\displaystyle B(r)\cdot2\pi r=\mu_{0}I$    
% latex2html id marker 2656 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle B(r)=\dfrac{\mu_{0}I}{2\pi r}$    
% latex2html id marker 2658 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle H(r)=\dfrac{I}{2\pi r}$    

と，確かに導出されます．次に，ソレノイドコイルの電流のつくる磁場を求めます．

アンペールの法則3

Figure9.9: アンペールの法則3

図はソレノイドコイルの中心線を含む断面図です．ソレノイドは無限に長いものとします．図の上部における定常電流は紙面の裏から表向きに，下部における定常電流は紙面の表から裏向きに流れるものとします．閉曲線 $ C$ として，$ CDFEC$ をとると，アンペールの法則(9.4)式より，

  $\displaystyle B\cdot CD-B'\cdot EF=0$    
% latex2html id marker 2669 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle B=B'$    

となります．すなわち，ソレノイドコイル内の磁束密度は一定です．閉曲線 $ C$ として $ CDJGC$ をとると，ソレノイド外部の磁束密度は打ち消し合って $ 0[T]$ なので，アンペールの法則(9.4)式より，

  $\displaystyle B\cdot CD=\mu_{0}I\cdot nCD$    
% latex2html id marker 2678 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle B=\mu_{0}nI$    
% latex2html id marker 2680 $\displaystyle \therefore$ $\displaystyle H=nI$    

と，確かに導出されます．

　最後に，電流密度 $ i(\vec{x})[A/m^{2}]$ を使って，アンペールの法則(9.4)式を変形します．アンペールの法則（積分形）は，

$\displaystyle \fbox{$\oint_{C}\vec{B}(\vec{x})\cdot d\vec{x}=\mu_{0}\int_{S}\vec{i}(\vec{x})\cdot\vec{n}(\vec{x})dS$}$ (9.5)

となります．ここで，ベクトル解析のストークスの定理，任意のベクトル $ \vec{A}(\vec{x})\,$ に対して，

$\displaystyle \int_{S}\nabla\times\vec{A}(\vec{x})\cdot\vec{n}(\vec{x})dS=\oint_{C}\vec{A}(\vec{x})\cdot d\vec{x}\,$

より，(9.5)式は，

$\displaystyle \int_{S}\nabla\times\vec{B}(\vec{x})\cdot\vec{n}(\vec{x})dS=\mu_{0}\int_{S}\vec{i}(\vec{x})\cdot\vec{n}(\vec{x})dS$

となります．被積分関数同士が等しくなりますので，

$\displaystyle \fbox{$\nabla\times\vec{B}(\vec{x})=\mu_{0}\vec{i}(\vec{x})$}$ (9.6)

が成立します．(9.6)式をアンペールの法則（微分形）といいます．